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0-1 Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mi 14.06.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
In eine Urne befinden sich zwei schwarze und eine weiße Kugel. Eine Kugel wird zufällig aus der Urne gezogen, die Farbe notiert und die Kugel zusammen mit einer zusätzlichen weißen und einer zusätzlichen schwarzen Kugel zurück in die Urne gelegt. Dies wird unendlich oft unabhängig wiederholt.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) der Ereigniss

A:=" Es werden unendlich oft weiß Kugeln gezogen"

B:=" Es werden schließlich nur noch weiße Kugeln gezogen"

Guten Tag,

ich habe wie folgt angefangen:

[mm] A_n:="n-ter [/mm] Zug ist eine weiße Kugel" somit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5}+\bruch{3}{7}+....=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^k \bruch{n}{2n+1} [/mm]

Wir suchen aber [mm] P(\{A_n \infty-oft\})=P(\limes_{n\rightarrow\infty}sup A_n) [/mm]

Leider weiß ich nicht wie ich am besten weitermachen soll. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
0-1 Gesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Mi 14.06.2017
Autor: Chris84


> In eine Urne befinden sich zwei schwarze und eine weiße
> Kugel. Eine Kugel wird zufällig aus der Urne gezogen, die
> Farbe notiert und die Kugel zusammen mit einer
> zusätzlichen weißen und einer zusätzlichen schwarzen
> Kugel zurück in die Urne gelegt. Dies wird unendlich oft
> unabhängig wiederholt.
>  
> Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) der
> Ereigniss
>  
> A:=" Es werden unendlich oft weiß Kugeln gezogen"
>
> B:=" Es werden schließlich nur noch weiße Kugeln
> gezogen"
>  Guten Tag,

Huhu,

>  
> ich habe wie folgt angefangen:
>  
> [mm]A_n:="n-ter[/mm] Zug ist eine weiße Kugel" somit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5}+\bruch{3}{7}+....=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^k \bruch{n}{2n+1}[/mm]

Naja, das kann doch schon nicht sein, da [mm] $\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5}+\bruch{3}{7} [/mm] > 1$ (oder uebersehe ich etwas?). Ausserdem kann [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2n+1}$ [/mm] nicht konvergieren, da [mm] $\frac{n}{2n+1}$ [/mm] keine Nullfolge ist.

>  
> Wir suchen aber [mm]P(\{A_n \infty-oft\})=P(\limes_{n\rightarrow\infty}sup A_n)[/mm]
>  
> Leider weiß ich nicht wie ich am besten weitermachen soll.
> Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Ich habe da 'mal ne  Anmerkung zu A. So wie es da steht, heisst es ja nicht, dass nur weisse Kugeln gezogen werden, richtig? Wenn ich unendlich mal ziehe, kann es doch auch passieren, dass ich schwarze Kugeln ziehe, ohne dass die Bedingung "unendlich mal weiss" verletzt wird (koennte man das Hilberts Urne nennen??? :D ). Im Endlichen klar: dann waere es $n$-mal ziehen, $n$ weisse Kugeln und damit 0 schwarze Kugeln, aber so, wie A formuliert ist, sehe ich das gerade nicht.

Rein intuitiv wuerde ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dann 1 betruege, aber ich habe da jetzt leider keinen Ansatz, um das formal zu beweisen.

Hoffe, ich konnte einige Denkanstoesse geben :)

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
0-1 Gesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Mi 14.06.2017
Autor: mimo1

Hallo Chris84,

vielen Dank, dass hat mir aufjedenfall weitergeholfen:)

Gruß
mimo1

Bezug
        
Bezug
0-1 Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mi 14.06.2017
Autor: HJKweseleit

Ohne Rechnung (was aber nicht der Aufgabenstellung entspricht) kann man folgendes sagen:

Mit zunehmender Ziehungszahl geht die Wahrscheinlichkeit für weiß und damit auch für schwarz gegen 0,5.

Das bedeutet aber: Mit zunehmender Ziehungszahl wird die Hälfte der Ziehungen weiß und die andere Hälfte schwarz sein, denn das ist ja gerade die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit.

Und das bedeutet: Es wird noch unendlich oft weiß, aber auch unendlich oft schwarz kommen. Und das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für A ist 1 und für B 0.

Bezug
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