matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und Reihen1D Wärmegleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - 1D Wärmegleichung
1D Wärmegleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

1D Wärmegleichung: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:06 Do 26.02.2015
Autor: Hias

Aufgabe
Wir betrachten die Wellengleichung [mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] - [mm] \frac{\partial u}{\partial t}=0, [/mm] dabei beschreibt u die Temperatur
a) Finden Sie eine Lösug [mm] u:[0,L]\times \mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R} [/mm] des RWP´s:
[mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] - [mm] \frac{\partial u}{\partial t}=0 [/mm]
[mm] u(x,0)=u_0(x) [/mm]
u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0
mit [mm] u_0 \in C^2([0,L]), u_0(0)=u_0(L)=0 [/mm] und L>0
b) Die Temperatur u entlang eines Stabes der Länge L sei mit der PDG modelliert. Zeigen Sie, dass die die Funktion u(x,t) mit [mm] t\rightarrow\infty [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Fourierkoeffizienten einer Hölder-stetigen Funktion absolut konvergiert.



Die a haben wir gelöst mit [mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{\infty}a_n*\sin(\frac{\pi*n}{L} *x)*\exp(-(\frac{\pi*n}{L})^2*t) [/mm] ,  wobei [mm] a_n=\frac{2}{L}\integral_{0}^{L}{u_0(x)*\sin(\frac{\pi*n}{L}*x)dx} [/mm]

Bei b haben wir keine Ahnung wie wir ansetzten sollen und wie das t [mm] \rightarrow [/mm] inf benutzt wird. Wir kennen es nur so, dass man Funktionenfolgen definiert und den index n laufen lässt, wie man t benutzt verstehen wir nicht.
Könnte uns jemand einen Ansatz geben?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
1D Wärmegleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Do 26.02.2015
Autor: fred97


> Wir betrachten die Wellengleichung [mm]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm]
> - [mm]\frac{\partial u}{\partial t}=0,[/mm] dabei beschreibt u die
> Temperatur
> a) Finden Sie eine Lösug [mm]u:[0,L]\times \mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> des RWP´s:
> [mm]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm] - [mm]\frac{\partial u}{\partial t}=0[/mm]
>  
> [mm]u(x,0)=u_0(x)[/mm]
>  u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0

> mit [mm]u_0 \in C^2([0,L]), u_0(0)=u_0(L)=0[/mm] und L>0
> b) Die Temperatur u entlang eines Stabes der Länge L sei
> mit der PDG modelliert. Zeigen Sie, dass die die Funktion
> u(x,t) mit t [mm]\rightarrow[/mm] ínf gleichmäßig konvergiert.
> Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass ie
> Fourierkoeffizienten einer Hölder-stetigen Funktion
> absolut konvergiert.
>  
> Die a haben wir gelöst mit [mm]u(x,t)=\summe_{i=1}^{inf} a_n sin(\frac{\pi*n}{L} *x)*exp(-(\frac{\pi*n}{L})^2*t)[/mm]
> ,  wobei [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{2}{L}\integral_{0}^{L}{u_0(x)*sin(\frac{\pi*n}{L}*x)dx}[/mm]
>  
> Bei b haben wir keine Ahnung wie wir ansetzten sollen und
> wie das t [mm]\rightarrow[/mm] inf benutzt wird. Wir kennen es nur
> so, dass man Funktionenfolgen definiert und den index n
> laufen lässt, wie man t benutzt verstehen wir nicht.
> Könnte uns jemand einen Ansatz geben?

Vielleicht, wenn mir jemand sagt, was

    t [mm]\rightarrow[/mm] inf

bedeutet . Steht das so in der Aufgabenstellung ?

FRED

>  
> Vielen Dank im Voraus  


Bezug
                
Bezug
1D Wärmegleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Do 26.02.2015
Autor: Hias

Hallo Fred,

ja das war ein Tippfehler
es sollte natürlich t [mm] \rightarrow \infty [/mm] heißen, danke für den Hinweis.


Bezug
                        
Bezug
1D Wärmegleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Fr 27.02.2015
Autor: Vidane

Der Ansatz für die gleichmäßige Konvergenz wäre folgendes:

[mm] \(\lim\limits_{t \to \infty}\sup_{x \in [0,L]} ||u(x,t)-g(x)||=0\), [/mm] wobei g(x) der Grenzwert von u(x,t) ist.

Mein Ansatz wäre, den physikalischen Mittelwert als Grenzwert zu nehmen, d.h. [mm] g(x)=\frac{1}{L} \int_{0}^{L} u_0(x) [/mm] dx und nun den oberen Ausdruck auf 0 zu bringen.
Jedoch tue ich mir da auch gerade schwer, die Rechnung durchzuführen.

Bezug
        
Bezug
1D Wärmegleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Fr 27.02.2015
Autor: chrisno

Ich wundere mich über u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0
Das heißt doch, dass die Temperatur an den Enden immer null ist.
Physikalisch würde ich dann für $t [mm] \to \infty$ [/mm] erwarten, dass dann für den ganzen Stab t = 0 gilt.


Bezug
        
Bezug
1D Wärmegleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 28.02.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]