matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenInterpolation und Approximation3-Term-Relation, Beweis, allg
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Interpolation und Approximation" - 3-Term-Relation, Beweis, allg
3-Term-Relation, Beweis, allg < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Interpolation und Approximation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

3-Term-Relation, Beweis, allg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mi 06.01.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Ich habe ein Problem beim Beweis folgenden Satzes:
Der Satz sowie der Beweis  war in der Vorlesung sehr durcheinander aufgeschrieben/präsentiert - habe versucht es in eine ordentliche Form zu bringen (kann natürlich fehlerbehaftet sein)

Sei V=C[a,b] der Hilbertraum mit Skalarprodukt <f,g> = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) g(x) [mm] \omega(x) [/mm] dx mit der positiven und integrierbaren Gewichtsfunktion [mm] \omega(x) [/mm] auf (a,b)
Seien [mm] \{1,x,x^2,...\} [/mm] eine Basis der Polynome.
[mm] \{p_0,p_1,...\} [/mm] werden durch Gramm-Schmidt-Verfahren erzeugt und jeweils nommiert.
Es gilt die dreistufige Rekursionsformel
[mm] p_{n+1} [/mm] = [mm] \gamma_{n+1} [/mm] (x [mm] p_n(x)) [/mm] - [mm] \alpha_{n+1} p_n [/mm] (x) - [mm] \beta_{n+1} p_{n-1} [/mm] (x)
für [mm] \gamma_{n+1}, \alpha_{n+1}, \beta_{n+1} \in \mathbb{R} [/mm] geeignet.

Beweis:

Behauptung 1: [mm] grad(p_n)=n [/mm]
Induktionsanfang [mm] p_0= \frac{1}{\sqrt{\int_a^b \omega(x) dx}} [/mm] hat Grad 0
Induktionsschritt:
der nicht normierte Term von Gramm-Schmidt: [mm] \tilde{p_n}= x^n [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n-1} p_i [/mm]
[mm] \in \mathbb{K} [/mm]
[mm] grad(p_i)=i [/mm] nach induktionsannahme
[mm] \Rightarrow grad(\tilde{p_n})=n \Rightarrow grad(p_n)=n [/mm]


[mm] p_{n+1} [/mm] - [mm] \gamma_{n+1} [/mm] x [mm] p_n(x) [/mm] hat Grad n
Denn [mm] grad(p_{n+1})=n+1 [/mm] und [mm] \gamma_{n+1} [/mm] der Leitkoeffizient von [mm] p_{n+1}. [/mm]

Also kann [mm] p_{n+1} [/mm] - [mm] \gamma_{n+1} [/mm] x [mm] p_n(x) [/mm] als Linearkombination von [mm] \{p_0,..,p_n\} [/mm] geschrieben werden:
[mm] p_{n+1} [/mm] - [mm] \gamma_{n+1} [/mm] x [mm] p_n(x) [/mm]  = - [mm] \alpha_{n+1} p_n(x) [/mm] - [mm] \beta_{n+1} p_{n-1} [/mm] (x) - [mm] \sum_{i=0}^{n-2} c_i p_i(x) [/mm]

Für [mm] i_0=0,..,n-2 [/mm] gilt:
[mm] 0= [/mm] = [mm] \gamma_{n+1} \int_a^b [/mm] x [mm] p_n(x) p_{i_0} [/mm] (x) [mm] \omega(x) [/mm] dx - [mm] \alpha_{n+1} \int_a^b p_n(x) p_{i_0} [/mm] (x) [mm] \omega(x) [/mm] dx-  [mm] \beta_{n+1} \int_a^b p_{n-1}(x) p_{i_0} [/mm] (x) [mm] \omega(x) [/mm] dx - [mm] \sum_{i=0}^{n-2} c_i \int_a^b [/mm] x [mm] p_i(x) p_{i_0} (x)\omega(x)dx [/mm]
[mm] =\gamma_{n+1} \int_a^b [/mm] x [mm] p_n(x) p_{i_0} [/mm] (x) [mm] \omega(x) [/mm] dx - [mm] c_{i_0} \delta_{i,i_0} [/mm]

Nun verstehe ich nicht warum [mm] \gamma_{n+1} \int_a^b [/mm] x [mm] p_n(x) p_{i_0} [/mm] (x) [mm] \omega(x) [/mm] dx  Null sein sollte um [mm] c_{i_0}=0 [/mm] zu folgern??
Hängt das damit zusammen, dass der Leitkoeffizient von [mm] \gamma_{n+1} [/mm] x [mm] p_n(x) [/mm] derselbe ist wie von [mm] p_{n+1}? [/mm]

        
Bezug
3-Term-Relation, Beweis, allg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Do 07.01.2016
Autor: hippias

[mm] $p_{n}$ [/mm] ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grad $<n$; [mm] $xp_{i_{0}}$ [/mm] ist ein solches.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Interpolation und Approximation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]