matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDeutsche Mathe-Olympiade3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode")
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - 3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode")
3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode"): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 22:10 Do 01.04.2004
Autor: Stefan

Hallo,

da ich die Lösung selber nicht kenne, nehme ich mir das Recht heraus selber mit zu knobeln. ;-) Die Aufgabe steht allen Interessierten offen, nicht nur Schülern!

Es bezeichne [mm]\blue{a_n}[/mm] die letzte Ziffer der Folge [mm]\blue{n^{\left(n^n\right)}}[/mm].  [mm]\blue{n}[/mm] sei eine natürliche Zahl [mm]\blue{\ne 0}[/mm]. Beweisen Sie, dass die Zahlen [mm]\blue{a_n}[/mm] eine periodische Folge bilden und geben Sie die Periode an!

Viel Spaß (wünsche ich mir selber auch!) :-)



        
Bezug
3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode"): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Do 01.04.2004
Autor: Stefan

Also, ich habe das jetzt was raus, aber das ist alles andere als eine elegante Lösung. Hmmh, ich hoffe das geht noch schöner...

Ich warte mal auf Vorschläge...

Stefan

Bezug
        
Bezug
3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode"): editiert: Re: 3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode")
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Do 01.04.2004
Autor: Stefan

Okay, ich gebe meine Lösung mal an, in der Hoffnung, dass jemand  mit dem Ergebnis eine elegantere Lösung findet.

Es handelt sich um eine Periode der Länge [mm]20[/mm].

Das wird an diesen Stellen gezeigt:

https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=332
https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=333

Von vorneherein völlig klar oder aufgrund der bereits gezeigten Ergebnisse ersichtlich ist, dass

[mm]a_1=1[/mm],
[mm]a_2=6[/mm],
[mm]a_4=6[/mm],
[mm]a_5=5[/mm],
[mm]a_6=6[/mm],
[mm]a_8=6[/mm],
[mm]a_9=9[/mm],
[mm]a_{10}=0[/mm]
[mm]a_{11}=1[/mm],
[mm]a_{12}=6[/mm],
[mm]a_{14}=6[/mm],
[mm]a_{15}=5[/mm],
[mm]a_{16}=6[/mm],
[mm]a_{18}=6[/mm],
[mm]a_{19}=9[/mm],
[mm]a_{20}=0[/mm]

gilt.

Zu berechnen bleiben [mm]a_3[/mm], [mm]a_7[/mm], [mm]a_{13}[/mm] und [mm]a_{17}[/mm].

Für ungerade [mm]n[/mm] gilt nach Fermat:

[mm]n^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],

für gerade [mm]n[/mm] gilt (immerhin):

[mm]n^{n'+4k} \equiv n^{n'} \pmod{10}[/mm]

für [mm]n'>0[/mm].

Es gilt daher:

[mm]3^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],

also:

[mm]3^{\left(3^3\right)} \equiv 3^{27} \equiv 3^3 \equiv 7 \pmod{10}[/mm],

also: [mm]a_3=7[/mm].

Ebenso berechnet man dann [mm]a_7[/mm], [mm]a_{13}[/mm] und [mm]a_{17}[/mm].

Es gilt:

[mm]7^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],

also (da [mm]7^6 \equiv(2\cdot 3 + 1)^6 \equiv 1 \pmod{4}[/mm]):

[mm]7^{\left(7^7\right)} \equiv 7^{7} \equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}[/mm],

also:

[mm]a_7=3[/mm].

Es gilt (siehe hier: https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=333)

[mm]13^{\left(13^{13}\right)} \equiv \left(3^{\left(3^3\right)}\right)^3 \equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}[/mm],

also:

[mm]a_{13}=3[/mm]

und

[mm]17^{\left(17^{17}\right)} \equiv \left(7^{\left(7^7\right)}\right)^3 \equiv 3^3 \equiv 7 \pmod{10}[/mm],

also:

[mm]a_{17}=7[/mm].


Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode"): Hilssatz für gerade n, ungleich 0 modulo 10
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Fr 02.04.2004
Autor: Stefan

Aufgrund des Ergebnisses bisher habe ich eine kleine Hilfsbehauptung bewiesen.

Behauptung:

Für alle geraden [mm]n[/mm], [mm]n \not\equiv 0 \pmod{10}[/mm], gilt:

[mm]n^{\left(n^n^\right)} \equiv 6 \pmod{10}[/mm].

Beweis:

Wie schon häufiger bemerkt, gilt:

[mm](2k)^{\left(2k^{2k}\right)} = (2k)^4[/mm].

Nun ist aber [mm]k=2^p\cdot(2l-1)[/mm] mit zwei natürlichen Zahlen [mm]p[/mm] und [mm]l[/mm], und es gilt:

[mm]k^4 \equiv \underbrace{(2^4)^p}_{\equiv 6 \pmod{10}} \cdot \underbrace{(2l-1)^4}_{\equiv 1 \pmod{10} \ \mbox{\scriptsize(Fermat)}} \equiv 6 \pmod{10}[/mm],

wobei die Behauptung wegen [mm]2^4 \equiv 6 \pmod{10}[/mm] und [mm]6^2 \equiv 6 \pmod{10}[/mm] bewiesen ist.

Yeaah, cooles Resultat! :-)

Nebenbei: Es genügt also, die 20-Periodizität für ungerade [mm]n[/mm] zu zeigen.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode"): Beweis der 20-Periodizität für ungerade n
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 Fr 02.04.2004
Autor: Stefan

Für [mm]n \equiv 1 \pmod{2}[/mm], [mm]n \not\equiv 0 \pmod{5}[/mm], gilt:

[mm](n+2)^{10} \equiv 1 \pmod{4}[/mm]

und

[mm]\left(n^{{n \choose i}2^{n-i}} \right)^{n^i} \equiv 1 \pmod{10}[/mm]

für alle [mm]i
und daher:

[mm](n+10)^{\left((n+10)^{n+10}\right)} \equiv n^{\left((n+10)^{n+10}\right)} \pmod{10}[/mm]

[mm]\equiv n^{\left((n+2)^{n+10}\right)} \pmod{10}[/mm]

[mm]\equiv n^{\left((n+2)^n\right)} \pmod{10}[/mm]

[mm] \equiv \prod_{i=0}^n \left( n^{{n \choose i}2^{n-i}}\right)^{n^i}\pmod{10}[/mm]

[mm] \equiv n^{\left(n^n\right)} \cdot n^{n2n^{n-1}} \pmod{10}[/mm]

[mm]\equiv n^{\left(n^n\right)} \cdot \left(n^{\left(n^{n}\right)}\right)^2 \pmod{10}[/mm].

[mm]\equiv \left(n^{\left(n^n\right)}\right)^3 \pmod{10}[/mm].


Daraus folgt:

[mm](n+20)^{\left((n+20)^{n+20}\right)} \equiv \left((n+10)^{\left((n+10)^{n+10}\right)}\right)^3 \pmod{10}[/mm]

[mm]\equiv \left( n^{\left(n^n\right)}\right)^9 \pmod{10}[/mm]

[mm]\equiv n^{\left(n^n\right)} \pmod{10}[/mm].

Für [mm]n \equiv 0 \pmod{5}[/mm] ist die Behauptung aber trivialerweise erfüllt.

Puuhhh... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]