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3. Einheitswurzel komplexe Z.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Do 06.02.2014
Autor: bavarian16

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \wurzel[3]{-\wurzel{3}+3i} [/mm] und verwenden Sie die Eulersche darstellung


Ich hab erstmal in Eulerform umgeschrieben:
[mm][mm] \wurzel[3]{\wurzel{12}*e^{i*\bruch{\pi}{3}}} [/mm]

Kann ich jetzt die Moivre Formel verwenden:
[mm]\wurzel[n]{r}\cdot{}[cos(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})][/mm]

n: 3
k: 0 bis 2
r: [mm] \wurzel{12} [/mm]

Dann bekomm ich 3 Lösungen raus die ein gleichschenkliges 3Eck bilden.

        
Bezug
3. Einheitswurzel komplexe Z.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Do 06.02.2014
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Berechnen Sie [mm]\wurzel[3]{-\wurzel{3}+3i}[/mm] und verwenden Sie
> die Eulersche darstellung
>  
> Ich hab erstmal in Eulerform umgeschrieben:
>  [mm][mm]\wurzel[3]{\wurzel{12}*e^{i*\bruch{\pi}{3}}}[/mm]

Das ist nicht ganz richtig, es gilt

[mm] $-\wurzel{3}+3i [/mm] = [mm] \sqrt{12}* e^{i*\frac{2}{3}\pi}$ [/mm]

(beachte das Minus vor [mm] $\sqrt{3}$). [/mm]


> Kann ich jetzt die Moivre Formel verwenden:
> [mm]\wurzel[n]{r}\cdot{}[cos(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})][/mm]

Ja, aber die Formel geht anders. Bei dir ist ja der Winkel [mm] $\phi$ [/mm] egal?

Nutze:

[mm] $\sqrt[n]{r\cdot e^{i\phi}} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\cdot (\frac{\phi}{n} + \frac{2k}{n}\pi)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\Big[cos(\frac{\phi}{n} [/mm] + [mm] k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(\frac{\phi}{n} [/mm] + [mm] k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})\Big]$. [/mm]

(k = 0,...,n-1)

Prinzipielles Vorgehen ist aber richtig!

$n = 3$, $k = 0,1,2$, $r = [mm] \sqrt{12}$, $\phi [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\pi$. [/mm]

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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