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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - 4-fache Nullstelle
4-fache Nullstelle < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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4-fache Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Di 28.11.2006
Autor: santor

Hallo,

ich habe mal eine Frage, wann eine 4-fache Nullstelle vorliegt und woran man sie erkennt?

Bei der Gleichung [mm] x^4=1, [/mm] handelt es sich da um eine 4-fache Nullstelle? Wenn ich die 4-te Wurzel ziehe, dann bekomme ich 1 und -1 als Lösung. Oder wie ist es hier?

Grüße

        
Bezug
4-fache Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Di 28.11.2006
Autor: M.Rex

Hallo Jens:

[mm] x^{4}=1 [/mm] ist keine vierfache Nullstelle

Dazu brauchst du erstmal eine Funktion, sowie eine stelle [mm] x_{0} [/mm]

In diesem Fall wäre es [mm] f(x)=x^{4}-1. [/mm]
Und diese Funktion hat zwei  Nullstellen, nämlich 1 und -1, weil

[mm] x^{4}-1=(x²-1)*(x²+1)=(x-1)(x+1)(x²+1) [/mm]

Hier siehst du die Nullstellen und ihre Anzahl.

(x-1) kommt als Linearfaktor einmal vor, also ist +1 eine einfache Nullstelle, (x+1) kommt auch einmal vor, also: einfache Nullstelle bei -1
(x²+1) hat in [mm] \IR [/mm] keine Nullstellen, in [mm] \IC [/mm] kann man aber noch in folgende Linearfarktoren zerlegen.
[mm] x^{4}-1=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i) [/mm]

Also hat f in [mm] \IC [/mm] vier einfacne Nullstellen, 1,-1,i,-i

Nehmen wir noch die Funktion [mm] (x-1)^{4} [/mm]
Diese hat an der Stelle x=1 eine vierfache Nullstelle.

Du erkennst es wieder daran, dass (x-1) als Linearfaktor viermal vorkommt.

Marius

Bezug
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