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A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Fr 17.10.2014
Autor: mariem

Hallo!!!

Ich lese gerade den Beweis des Satzes:

Wenn A messbar ist, dann [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] offenes G [mm] \supset [/mm] A mit m(G [mm] \setminus A)<\epsilon. [/mm]

Der Beweis ist der folgende:

Wir nehmen an, dass A endliches Maß hat.
Dann von der Definition des äußeren Maßes, gibt es offene Rechtecke [mm] R_n [/mm] sodass A [mm] \subset \cup_n R_n, \sum_n v(R_n)
Wir nehmen [mm] G=\cup_n R_n. [/mm]


Meine Frage ist:

Warum können wir annehmen dass A endliches Maß hat??



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:45 So 19.10.2014
Autor: tobit09

Hallo mariem und herzlich [willkommenmr]!


> Ich lese gerade den Beweis des Satzes:
>  
> Wenn A messbar ist, dann [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm]
> offenes G [mm]\supset[/mm] A mit m(G [mm]\setminus A)<\epsilon.[/mm]

Ich nehme mal an, es soll [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] Borel-messbar sein für ein [mm] $k\in\IN$? [/mm]
$m$ bezeichnet das Lebesgue-Borel-Maß?


> Der Beweis ist der folgende:
>  
> Wir nehmen an, dass A endliches Maß hat.
>  Dann von der Definition des äußeren Maßes, gibt es
> offene Rechtecke [mm]R_n[/mm] sodass A [mm]\subset \cup_n R_n, \sum_n v(R_n)
>  
> Wir nehmen [mm]G=\cup_n R_n.[/mm]
>  
>
> Meine Frage ist:
>  
> Warum können wir annehmen dass A endliches Maß hat??

Wir müssen dazu den Fall einer beliebigen messbaren Menge [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] auf den Fall mit messbaren Mengen endlichen Maßes zurückführen.

Eine Möglichkeit dazu (ich nehme dabei [mm] $0\notin\IN$ [/mm] an):


Sei [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] Borel-messbar und [mm] $\varepsilon>0$. [/mm]
Gesucht ist eine offene Teilmenge [mm] $G\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G\supseteq [/mm] A$ und [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$. [/mm]

Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] sei

     [mm] $A_n:=A\cap[-n,n]^k$. [/mm]

Dann sind die [mm] $A_n$ [/mm] messbar mit endlichem Maß.

Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren offene Mengen [mm] $G_n\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G_n\supseteq A_n$ [/mm] und [mm] $m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon$. [/mm]

Überlege dir nun, dass [mm] $G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n$ [/mm] das Gewünschte leistet.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Also wir nehmen an dass A messbar mit unendlichen Mass ist,oder nicht?
Und wir wollen zeigen dass der Satz auch dann gilt. Oder habe ich die Idee falsch verstanden?

Koenntest du mir erklaeren warum wir als [mm] A_n, A\cap [-n,n]^k [/mm] nehmen?

Bezug
                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Also wir nehmen an dass A messbar mit unendlichen Mass
> ist,oder nicht?

ja


>  Und wir wollen zeigen dass der Satz auch dann gilt.

Ja

>  Oder
> habe ich die Idee falsch verstanden?

Nein.

>  
> Koenntest du mir erklaeren warum wir als [mm]A_n, A\cap [-n,n]^k[/mm]
> nehmen?

Die [mm] A_n [/mm] sind messbar und haben endliches Maß. Auf [mm] A_n [/mm] kannst Du also das schon Gezeigte anwenden !

FRED


Bezug
                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Also sind [mm] A_n [/mm] messbar mit endlichen Mass weil das der Schnitt von A und einen bestimmten Intervall ist?



Uebrigens, eben hatte ich vergessen zu erwaehnen dass $m$ das Lebesgue Mass ist.


Bezug
                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Also sind [mm]A_n[/mm] messbar mit endlichen Mass weil das der
> Schnitt von A und einen bestimmten Intervall ist?

Es ist $ [mm] A_n=A\cap [-n,n]^k \subseteq [-n,n]^k=:B_n$ [/mm]

Dann ist [mm] m(A_n) \le m(B_n)< \infty [/mm]

Wie groß ist  [mm] m(B_n) [/mm] ???

FRED

>  
>
>
> Uebrigens, eben hatte ich vergessen zu erwaehnen dass [mm]m[/mm] das
> Lebesgue Mass ist.
>  


Bezug
                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Wenn es [-n,n] waere wuerde das Mass n-(-n)=2n sein, oder nicht?

Aber wie kann ich es jetzt finden wenn es [mm] [-n,n]^k [/mm] ist?

Bezug
                                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Wenn es [-n,n] waere wuerde das Mass n-(-n)=2n sein, oder
> nicht?
>  
> Aber wie kann ich es jetzt finden wenn es [mm][-n,n]^k[/mm] ist?

Überlege Dir mal die Fälle k=2 und k=3,....

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Um das zu finden kann ich den Satz benutzen, dass das Mass eines Rechteckes gleich den Volumen des Rechteckes ist?

Also waere dann das Mass von [mm] [-n,n]^2 [/mm] gleich [mm] (2n)^2 [/mm] ?

Bezug
                                                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Um das zu finden kann ich den Satz benutzen, dass das Mass
> eines Rechteckes gleich den Volumen des Rechteckes ist?
>  
> Also waere dann das Mass von [mm][-n,n]^2[/mm] gleich [mm](2n)^2[/mm] ?

Ja

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Also ist dann das Mass von [mm] [-n,n]^k [/mm] gleich [mm] (2n)^{k} [/mm] ?

Bezug
                                                                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Also ist dann das Mass von [mm][-n,n]^k[/mm] gleich [mm](2n)^{k}[/mm]

Bingo !

fred


Bezug
                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 20.10.2014
Autor: mariem


> Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren
> offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und
> [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
>  
> Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das
> Gewünschte leistet.
>  
>

Gibt es einen bestimmten Grund dass wir [mm] 2^{-n}\varepsilon [/mm] nehmen and nicht nur [mm] \varepsilon [/mm] ?

Wir haben gezeigt dass wir den Satz fuer [mm] A_n [/mm] anwenden koennen. Wie folgen wir daraus dass wir es auch fuer A anwenden koennen?


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Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> > Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren
> > offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und
> > [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
>  >  
> > Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das
> > Gewünschte leistet.
>  >  
> >
>
> Gibt es einen bestimmten Grund dass wir [mm]2^{-n}\varepsilon[/mm]
> nehmen and nicht nur [mm]\varepsilon[/mm] ?

Am Ende soll doch  m(G $ [mm] \setminus A)<\epsilon [/mm] $ dastehen.


>  
> Wir haben gezeigt dass wir den Satz fuer [mm]A_n[/mm] anwenden
> koennen. Wie folgen wir daraus dass wir es auch fuer A
> anwenden koennen?

Hä ? Das hat doch mein Vorredner oben alles geschrieben:

"Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren  offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und  [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das Gewünschte leistet."

FRED

>  >  
>  


Bezug
                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

Wenn wir die Vereinigung von alle [mm] G_n [/mm] nehmen haben wir am Ende G. Muessen wir nicht dann auch die Vereinigung von [mm] A_n [/mm] nehmen? Wie bekommen wir sonst das A?

Bezug
                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mo 20.10.2014
Autor: tobit09


> Wenn wir die Vereinigung von alle [mm]G_n[/mm] nehmen haben wir am
> Ende G. Muessen wir nicht dann auch die Vereinigung von [mm]A_n[/mm]
> nehmen? Wie bekommen wir sonst das A?

Es gilt in der Tat

      [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=A$ [/mm]

und das wirst du auch benötigen.


Ich schrieb in meiner ersten Antwort:

"Gesucht ist eine offene Teilmenge [mm] $G\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G\supseteq [/mm] A$ und [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$." [/mm]

Um zu überprüfen, ob unser gefundenes [mm] $G=\bigcup_{n\in\IN}G_n$ [/mm] das Gewünschte leistet, ist also zu überlegen:

1. $G$ ist eine offene Teilmenge des [mm] $\IR^k$ [/mm]

2. [mm] $G\supseteq [/mm] A$

3. [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$. [/mm]


Tipp zu 3.:

Es gilt

     [mm] $G\setminus A=(\bigcup_{n\in\IN}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\IN}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\IN}(G_n\setminus A_n)$ [/mm]

und damit

     [mm] $m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\IN}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\IN}m(G_n\setminus A_n)<\ldots$. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 20.10.2014
Autor: mariem

1. Wenn [mm] G_n [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] \IR^k [/mm] ist, bedeutet das auch dass [mm] \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] \mathbb{R}^k [/mm] ist?


2. [mm] G_n \supseteq A_n \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n \supseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n \Rightarrow [/mm] G [mm] \supseteq [/mm] A


3. [mm] G\setminus A=(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n) [/mm]

Also [mm] m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\mathbb{N}}m(G_n\setminus A_n)<\sum_{n \in\mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon [/mm]


Ist es richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 Di 21.10.2014
Autor: tobit09


> 1. Wenn [mm]G_n[/mm] eine offene Teilmenge von [mm]\IR^k[/mm] ist, bedeutet
> das auch dass [mm]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n[/mm] eine offene
> Teilmenge von [mm]\mathbb{R}^k[/mm] ist?

Ja, da beliebige Vereinigungen offener Teilmengen wieder offen sind.


> 2. [mm]G_n \supseteq A_n \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n \supseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n \Rightarrow[/mm]
> G [mm]\supseteq[/mm] A
>  
>
> 3. [mm]G\setminus A=(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n)[/mm]
>  
> Also [mm]m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\mathbb{N}}m(G_n\setminus A_n)<\sum_{n \in\mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon[/mm]
>  
>
> Ist es richtig?

Ja! [ok]

Bezug
                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Di 21.10.2014
Autor: mariem

Wenn man gezeigt hat G die drei EIgenschaften erfüllt, kommt man zum Ergebnis dass der Satz auch gilt wenn A messbar mit unendlichen Mass ist. Richtig?

Also, der Grund dass wir am Anfang annehmen dass A endlichen Mass hat, ist dass man den Satz anwenden kann in den Fall wenn A unendlichen Mass hat. Ist es richtig so?

Bezug
                                                        
Bezug
A hat endliches Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Di 21.10.2014
Autor: tobit09


> Wenn man gezeigt hat G die drei EIgenschaften erfüllt,
> kommt man zum Ergebnis dass der Satz auch gilt wenn A
> messbar mit unendlichen Mass ist. Richtig?

Ja.

  

> Also, der Grund dass wir am Anfang annehmen dass A
> endlichen Mass hat, ist dass man den Satz anwenden kann in
> den Fall wenn A unendlichen Mass hat. Ist es richtig so?

Ja, man kann den Spezialfall des Satzes, dass $A$ endliches Maß hat, anwenden, um den allgemeinen Fall darauf zurückzuführen.

Bezug
                                                                
Bezug
A hat endliches Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 Di 21.10.2014
Autor: mariem

Ich habe es verstanden!! Danke fuer die Hilfe!!!

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