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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildung Kern/Bild
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Abbildung Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Sa 23.09.2017
Autor: D-C

Aufgabe
geg.: Untervektorräume U1 = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm]
und U2= [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm]

1) Angabe einer lin. Abbildung [mm] f:\IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] mit Kern(f)= U1
2) Angabe einer lin. Abbildung [mm] f:\IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] mit Bild(f)= U2

Hallo,

wie findet man solche Abbildungen so dass 1) bzw 2) erfüllt sind ?

Hatte noch überprüft das die beiden Vektoren von U1 eine Basis von U1 sind und
das [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1} [/mm] eine Basis von U2 bilden. Kann man da vielleicht was draus ableiten/ergänzen?

Gruß
D-C

        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 23.09.2017
Autor: angela.h.b.


> geg.: Untervektorräume U1 = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> und U2= [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]

>

> 1) Angabe einer lin. Abbildung [mm]f:\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] mit
> Kern(f)= U1

Hallo,

ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^4, [/mm]
und dann definiere eine lineare Abbildung so, daß die beiden gegebenen Vektoren auf den Nullvektor abgebildet werden und die beiden anderen auf zwei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^4. [/mm]

> 2) Angabe einer lin. Abbildung [mm]f:\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] mit
> Bild(f)= U2
> Hallo,

>

> wie findet man solche Abbildungen so dass 1) bzw 2)
> erfüllt sind ?

>

> Hatte noch überprüft das die beiden Vektoren von U1 eine
> Basis von U1 sind und
> das [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> eine Basis von U2 bilden. Kann man da vielleicht was draus
> ableiten/ergänzen?

Nimm Dir eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] und definiere eine lineare Abbildung so, daß zwei der Basisvektoren auf die obigen beiden Vektoren abgebildet werden und die anderen auf den Nullvektor.


Sicer, daß Du zwei Abbildungen definieren sollst und nict eine einzige, die beides tut?

LG Angela


>

> Gruß
> D-C


Bezug
                
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Sa 23.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Sicer, daß Du zwei Abbildungen definieren sollst und nict
> eine einzige, die beides tut?

Dann wäre aber dim(kern(f))=2 und dim(Bild(f))=3, und damit dim(kern(f))+ dim(Bild(f))>4, was nicht möglich ist.

Bezug
                        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 Sa 23.09.2017
Autor: angela.h.b.


> > Sicer, daß Du zwei Abbildungen definieren sollst und nict
> > eine einzige, die beides tut?

>

> Dann wäre aber dim(kern(f))=2 und dim(Bild(f))=3,

Nein,

die drei Vektoren sind linear abhängig, die Dimension des aufgespannten Raumes ist 2.

Ansonsten hättest Du natürlich recht.

LG Angela

> und
> damit dim(kern(f))+ dim(Bild(f))>4, was nicht möglich ist.


Bezug
                                
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:17 So 24.09.2017
Autor: HJKweseleit

Sorry, du hast völlig Recht, man sieht es sofort mit bloßem Auge. Ich habe in der "Gleichung" U=... die rechte Seite als Basis-Darstellung angesehen, es soll aber offenbar ein Erzeugendensystem sein, und bin dadurch in die Falle getappt, weil ich die lin Abhängigkeit nicht mehr überprüft habe.

Bezug
        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Sa 23.09.2017
Autor: HJKweseleit


> geg.: Untervektorräume U1 = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>  und U2= [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> 1) Angabe einer lin. Abbildung [mm]f:\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] mit
> Kern(f)= U1

Hier greifst du den Vorschlag von Angela auf.


>  2) Angabe einer lin. Abbildung [mm]f:\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] mit

> Bild(f)= U2

Einfachste Lösung:

[mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1} [/mm], [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm],[mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]

und somit [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\vektor{2a+b\\ 4a+b+2c \\ -a-b+c \\ -2a-b}[/mm]



Bezug
                
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Sa 23.09.2017
Autor: D-C

Hallo,

> ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des $ [mm] \IR^4, [/mm] $
> und dann definiere eine lineare Abbildung so, daß die beiden gegebenen           > Vektoren auf den Nullvektor abgebildet werden und die beiden anderen auf
> zwei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^4. [/mm] $

Also z.B. nehme ich zu den beiden U1 Vektoren noch [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] dazu, dann sind diese 4 linear unabhängig und Basis des [mm] \IR^4. [/mm]

Dann bilde ich [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 0 \\ 0} [/mm] -> [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]  und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] -> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0} [/mm] ab.

Und die anderen beiden dann linear unabhängig wozu?


> Einfachste Lösung:

> [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2} [/mm]
> [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1} [/mm]
> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0} \mapsto \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm]      
> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1} \mapsto \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

> und somit [mm] \vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{2a+b\\ 4a+b+2c \\ -a-> b+c \\ -2a-b} [/mm]

Also mit

> Nimm Dir eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] $ und definiere eine lineare Abbildung so,
> daß zwei der Basisvektoren auf die obigen beiden Vektoren abgebildet        > werden und die anderen auf den Nullvektor.

Laut, dem Beispiel nehme ich als Basis des [mm] \IR^4 [/mm] also z.B. einfach die 4 Einheitsvektoren. Wo kommt denn dann der 3. Vektor her auf den abgebildet wird, nur die ersten beiden waren doch Basis von U2?

Gruß
D-C

Bezug
                        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:52 So 24.09.2017
Autor: leduart

Hallo
die Lösungen enthalten doch alle Linearkombinationen der 2 Vektoren, also auch den dritten.

Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 So 24.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> > ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^4,[/mm]
>  > und dann definiere eine lineare Abbildung so, daß die

> beiden gegebenen           > Vektoren auf den Nullvektor
> abgebildet werden und die beiden anderen auf
> > zwei linear unabhängige Vektoren des [mm]\IR^4.[/mm] $
>  
> Also z.B. nehme ich zu den beiden U1 Vektoren noch
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> dazu, dann sind diese 4 linear unabhängig und Basis des
> [mm]\IR^4.[/mm]
>  
> Dann bilde ich [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\ 0}[/mm] -> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm] -> [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]

> ab.
>  





> Und die anderen beiden dann linear unabhängig wozu?

[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] Sind linear unabhängig zueinander und zu den  beiden vorgegebenen, d.h., alle 4 Vektoren bilden nun eine Basis von [mm] \IR^4. [/mm] Du sollst ja eine lin. Abbildung definieren, bei der die vorgegebenen Vektoren den Kern bilden. Die vorgegebenen hast du nun beide auf den Nullvektor abgebildet. Damit ist die Abbildung noch nicht vollständig: Du musst für die anderen beiden auch noch angeben, wohin sie abgebildet werden, das darf aber nicht der Nullvektor sein, und du darfst sie auch nicht auf "dieselbe Dimension" abbilden, also nicht auf lin. abhängige Vektoren. Am einfachsten:

[mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\1\\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\0\\ 1 \\ 0}[/mm].

Aber nicht [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\1\\ 0 \\ 0}[/mm], sonst würde [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0} auf \vektor{0 \\0\\ 0 \\ 0}[/mm] abgebildet und damit [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] ebenfalls zum Kern gehören.

Wenn du nun die Abbildung vereinfacht zusammensetzen sollst, müsstest du angeben, wohin [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm] abgebildet wird. dazu musst du diesen als Lin-Komb. der 4 Vektoren aufschreiben:
[mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm] = [mm]a*\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\bruch{d}{2}*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm](b -2a)*\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm](c-\bruch{d}{2})*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]

Daraus ergibt sich dann
[mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm] [mm] \mapsto[/mm]   [mm]a*\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\bruch{d}{2}*\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm](b -2a)*\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm](c-\bruch{d}{2})*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ b -2a\\ c-\bruch{d}{2} \\ 0}[/mm]

Das Beispiel ist natürlich nur eines von unendlich vielen verschiedenen Möglichkeiten.



>  
>
> > Einfachste Lösung:
>
> > [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm]
>  
> > [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> > [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0} \mapsto \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>      
> > [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1} \mapsto \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> > und somit [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{2a+b\\ 4a+b+2c \\ -a-> b+c \\ -2a-b}[/mm]
>
> Also mit
>
> > Nimm Dir eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] $ und definiere eine lineare
> Abbildung so,
>  > daß zwei der Basisvektoren auf die obigen beiden

> Vektoren abgebildet        > werden und die anderen auf den
> Nullvektor.
>
> Laut, dem Beispiel nehme ich als Basis des [mm]\IR^4[/mm] also z.B.
> einfach die 4 Einheitsvektoren.



> Wo kommt denn dann der 3.
> Vektor her auf den abgebildet wird, nur die ersten beiden
> waren doch Basis von U2?

Der 3. Vektor aus [mm] U_2 [/mm] ist eine Linearkombination der beiden anderen (was ich leider übersehen habe, was aber in diesem Zusammenhang keine Rolle spielt). Wichtig ist nur, dass du eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] nur auf Vektoren aus [mm] U_2 [/mm] oder auf den Nullvektor (der ja auch in [mm] U_2 [/mm] liegt) abbildest und insgesamt [mm] U_2 [/mm] "abdeckst". Du kannst also nicht alle vier nur auf [mm]\vektor{0 \\ 2\\ 1 \\0}[/mm] abbilden. Wenn du also den ersten aus [mm] \IR^4 [/mm] auf den ersten von [mm] U_2 [/mm] und den zweiten auf den zweiten von [mm] U_2 [/mm] abgebildet hast, kannst du die nächsten beiden auf jede beliebige Linearkombination von [mm] U_2 [/mm] abbilden, also z.B. auch auf den dritten angegebenen, wie ich es getan habe.




>  
> Gruß
>  D-C


Bezug
                                
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 24.09.2017
Autor: D-C


> > Hallo,
>  >  
> > > ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^4,[/mm]
>  >  > und dann definiere eine lineare Abbildung so, daß

> die
> > beiden gegebenen           > Vektoren auf den Nullvektor
> > abgebildet werden und die beiden anderen auf
> > > zwei linear unabhängige Vektoren des [mm]\IR^4.[/mm] $
>  >  
> > Also z.B. nehme ich zu den beiden U1 Vektoren noch
> > [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > dazu, dann sind diese 4 linear unabhängig und Basis des
> > [mm]\IR^4.[/mm]
>  >  
> > Dann bilde ich [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\ 0}[/mm] -> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >  und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm] -> [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]

> > ab.
>  >  
>
>
>
>
> > Und die anderen beiden dann linear unabhängig wozu?
>  
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Sind linear unabhängig zueinander und zu den  beiden
> vorgegebenen, d.h., alle 4 Vektoren bilden nun eine Basis
> von [mm]\IR^4.[/mm] Du sollst ja eine lin. Abbildung definieren, bei
> der die vorgegebenen Vektoren den Kern bilden. Die
> vorgegebenen hast du nun beide auf den Nullvektor
> abgebildet. Damit ist die Abbildung noch nicht
> vollständig: Du musst für die anderen beiden auch noch
> angeben, wohin sie abgebildet werden, das darf aber nicht
> der Nullvektor sein, und du darfst sie auch nicht auf
> "dieselbe Dimension" abbilden, also nicht auf lin.
> abhängige Vektoren. Am einfachsten:
>  
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\1\\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\0\\ 1 \\ 0}[/mm].
>  
> Aber nicht [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\1\\ 0 \\ 0}[/mm],
> sonst würde [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0} auf \vektor{0 \\0\\ 0 \\ 0}[/mm]
> abgebildet und damit [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] ebenfalls
> zum Kern gehören.

-----------------------------------------------------------------

Hab das nochmal nachgerechnet und man bildet also am einfachsten auf die gleichen Vektoren ab und erhalte dann aus [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 } [/mm]
[mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm] .

Ich sehe nur grad irgendwie nicht, dass bei dem anderen Bsp., wenn ich anders abbilde [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] auch im Kern liegen würde!?



----------------------------------------------------

>  
> Wenn du nun die Abbildung vereinfacht zusammensetzen
> sollst, müsstest du angeben, wohin [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm]
> abgebildet wird. dazu musst du diesen als Lin-Komb. der 4
> Vektoren aufschreiben:
>  [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm] = [mm]a*\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\ 0}[/mm] +
> [mm]\bruch{d}{2}*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm](b -2a)*\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm](c-\bruch{d}{2})*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Daraus ergibt sich dann
> [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\ d}[/mm] [mm]\mapsto[/mm]   [mm]a*\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\bruch{d}{2}*\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm](b -2a)*\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm](c-\bruch{d}{2})*\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ b -2a\\ c-\bruch{d}{2} \\ 0}[/mm]
>
> Das Beispiel ist natürlich nur eines von unendlich vielen
> verschiedenen Möglichkeiten.
>  
>
> >  

> >
> > > Einfachste Lösung:
> >
> > > [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{2 \\ 4 \\ -1 \\ -2}[/mm]
>  
> >  

> > > [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> > > [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0} \mapsto \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >      

> > > [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1} \mapsto \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > > und somit [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{2a+b\\ 4a+b+2c \\ -a-> b+c \\ -2a-b}[/mm]
> >
> > Also mit
> >
> > > Nimm Dir eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] $ und definiere eine lineare
> > Abbildung so,
>  >  > daß zwei der Basisvektoren auf die obigen beiden

> > Vektoren abgebildet        > werden und die anderen auf den
> > Nullvektor.
> >
> > Laut, dem Beispiel nehme ich als Basis des [mm]\IR^4[/mm] also z.B.
> > einfach die 4 Einheitsvektoren.
>  
> > Wo kommt denn dann der 3.
> > Vektor her auf den abgebildet wird, nur die ersten beiden
> > waren doch Basis von U2?
>  
> Der 3. Vektor aus [mm]U_2[/mm] ist eine Linearkombination der beiden
> anderen (was ich leider übersehen habe, was aber in diesem
> Zusammenhang keine Rolle spielt). Wichtig ist nur, dass du
> eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] nur auf Vektoren aus [mm]U_2[/mm] oder auf den
> Nullvektor (der ja auch in [mm]U_2[/mm] liegt) abbildest und
> insgesamt [mm]U_2[/mm] "abdeckst". Du kannst also nicht alle vier
> nur auf [mm]\vektor{0 \\ 2\\ 1 \\0}[/mm] abbilden. Wenn du also den
> ersten aus [mm]\IR^4[/mm] auf den ersten von [mm]U_2[/mm] und den zweiten auf
> den zweiten von [mm]U_2[/mm] abgebildet hast, kannst du die
> nächsten beiden auf jede beliebige Linearkombination von
> [mm]U_2[/mm] abbilden, also z.B. auch auf den dritten angegebenen,
> wie ich es getan habe.

----------------------------------------------------------------

Ok, also könnte ich als 4. Vektor z.B. [mm]\vektor{1 \\ 1\\ -2 \\1}[/mm] abbilden oder auch auf den Nullvektor?
Beide dürfen glaub ich nicht der Nullvektor sein oder !? Suche da grad noch nach einer schlüssigen Begründung.

>  
>
>
> >  

> > Gruß
>  >  D-C
>  


Bezug
                                        
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 24.09.2017
Autor: HJKweseleit


>  
> Hab das nochmal nachgerechnet und man bildet also am
> einfachsten auf die gleichen Vektoren ab und erhalte dann
> aus [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm]



Jetzt stimmt fast gar nichts mehr!

Wir sind noch bei Aufgabe 1). Durch deine Abbildung [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm] wird nun [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\0}[/mm]  auf  [mm]\vektor{0\\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] abgebildet, also nicht auf den Nullvektor, und damit gehört [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\0}[/mm] gar nicht zum Kern! Entsprechend [mm]\vektor{0\\ 0\\1 \\2} \mapsto \vektor{0\\ 1 \\ 2 \\ 0}[/mm].

Falls [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm] die Abbildungsmatrix sein soll, ist auch das völlig falsch, denn es ist
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]*[mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ 2a+c\\ b+d \\2b}[/mm] [mm] \ne[/mm]  [mm]\vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm]  und damit etwas ganz anderes.



> Ich sehe nur grad irgendwie nicht, dass bei dem anderen
> Bsp., wenn ich anders abbilde [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm]
> auch im Kern liegen würde!?




Wenn du [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm] beide auf  [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] abbildest, wird [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] + (-1)* [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]  auf [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm] abgebildet und gehört damit zum Kern.



> Ok, also könnte ich als 4. Vektor z.B. [mm]\vektor{1 \\ 1\\ -2 \\1}[/mm]
> abbilden oder auch auf den Nullvektor?
>  Beide dürfen glaub ich nicht der Nullvektor sein oder !?
> Suche da grad noch nach einer schlüssigen Begründung.




Weil ich den Bezug gerade nicht verstehe, gehe ich hier noch mal auf lineare Abbildungen ein.

Du willst eine lin. Abbildung vom soundsoviel-dimensionalen Vektorraum A in einen soundsoviel-dimensionalen Vektorraum B definieren.

Du wählst eine beliebige Basis aus A aus. Zu jedem Basisvektor gibst du an, worauf er in B abgebildet werden soll.

1. Da du alle anderen Vektoren aus A als Linearkombination der gewählten Basis darstellen kannst, sind damit deren Bilder in B automatisch festgelegt.
Das bedeutet z.B. auch für 3 Vektoren aus A, von denen 2 linear unabhängig und der dritte eine Linearkombination der anderen ist, du für den dritten keine Wahl mehr hast, worauf er abgebildet wird.

2. Für die Wahl der Vektoren aus B, auf die du die Basis aus A abbildest, hast du freie Wahl. Das bedeutet: Du kannst alle auf den Nullvektor abbilden, und ganz A ist der Kern der Abbildung. Du kannst auch alle auf den selben Vektor aus B abbilden, und Das Bild hat nur die Dimension 1.

3. Die in 2 erwähnten Bilder bilden einen Unterraum U in B oder ggf. ganz B. Wenn a=dim(A)-dim(U) ist, hat der kern die Dimension a.

Beispiel:
dim A = 6 und dim B = 4.
Dann kannst du zu den 6 Basisvektoren aus A höchstens 4 linear unabhängige aus B treffen, und der Kern A hat die Dimension 2.
Bildest du die 6 Basisvektoren auf 6 beliebige in B ab, von denen aber nur 3 linear unabhängig und die 3 anderen Linearkombinationen dieser 3 sind, so hat der Kern die Dimension 6-3=3

Beispiel:
Dim A=4, dim B = 6.
Ist die Dimension vom Bild 4 (und mehr geht nicht), so ist die Dimension vom Kern 0. Ist die Dimension vom Bild 3, so ist die Dimension vom Kern 1.

Vereinfacht ausgedrückt: Jeder Basisvektor aus A, der in B keine neue Dimension "aufmacht", macht den Kern eine Dimension größer (wobei die Zählung mit 0 anfängt).




Bezug
                                                
Bezug
Abbildung Kern/Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 So 24.09.2017
Autor: D-C


> >  

> > Hab das nochmal nachgerechnet und man bildet also am
> > einfachsten auf die gleichen Vektoren ab und erhalte dann
> > aus [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm]
>
> Jetzt stimmt fast gar nichts mehr!
>  
> Wir sind noch bei Aufgabe 1). Durch deine Abbildung
> [mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d} \mapsto \vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm]
> wird nun [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\0}[/mm]  auf  [mm]\vektor{0\\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> abgebildet, also nicht auf den Nullvektor, und damit
> gehört [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0 \\0}[/mm] gar nicht zum Kern!
> Entsprechend [mm]\vektor{0\\ 0\\1 \\2} \mapsto \vektor{0\\ 1 \\ 2 \\ 0}[/mm].
>  
> Falls [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
> die Abbildungsmatrix sein soll, ist auch das völlig
> falsch, denn es ist
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]*[mm]\vektor{a \\ b\\ c \\d}[/mm]
> = [mm]\vektor{a \\ 2a+c\\ b+d \\2b}[/mm] [mm]\ne[/mm]  [mm]\vektor{0\\ 2a+c \\ b+d \\ 0}[/mm]
>  und damit etwas ganz anderes.




Nein ausführlich meinte ich hier eher:

[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]  [mm] \mapsto[/mm]  [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]




>  
>
> > Ich sehe nur grad irgendwie nicht, dass bei dem anderen
> > Bsp., wenn ich anders abbilde [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm]
> > auch im Kern liegen würde!?
>  
>
>
> Wenn du [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]
> beide auf  [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] abbildest, wird
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] +
> (-1)* [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]  auf [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm]
> - [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]
> abgebildet und gehört damit zum Kern.
>  
>
> > Ok, also könnte ich als 4. Vektor z.B. [mm]\vektor{1 \\ 1\\ -2 \\1}[/mm]
> > abbilden oder auch auf den Nullvektor?
>  >  Beide dürfen glaub ich nicht der Nullvektor sein oder
> !?
> > Suche da grad noch nach einer schlüssigen Begründung.
>  
>
> Weil ich den Bezug gerade nicht verstehe, gehe ich hier
> noch mal auf lineare Abbildungen ein.
>  
> Du willst eine lin. Abbildung vom soundsoviel-dimensionalen
> Vektorraum A in einen soundsoviel-dimensionalen Vektorraum
> B definieren.
>  
> Du wählst eine beliebige Basis aus A aus. Zu jedem
> Basisvektor gibst du an, worauf er in B abgebildet werden
> soll.
>  
> 1. Da du alle anderen Vektoren aus A als Linearkombination
> der gewählten Basis darstellen kannst, sind damit deren
> Bilder in B automatisch festgelegt.
> Das bedeutet z.B. auch für 3 Vektoren aus A, von denen 2
> linear unabhängig und der dritte eine Linearkombination
> der anderen ist, du für den dritten keine Wahl mehr hast,
> worauf er abgebildet wird.


Hier war mir das mit der Wahl vorher nicht so richtig klar, aber jetzt hab ichs verstanden.
Die anderen Punkte und die Beispiele mit der Dimensionsformel waren mir bewusst.



>  
> 2. Für die Wahl der Vektoren aus B, auf die du die Basis
> aus A abbildest, hast du freie Wahl. Das bedeutet: Du
> kannst alle auf den Nullvektor abbilden, und ganz A ist der
> Kern der Abbildung. Du kannst auch alle auf den selben
> Vektor aus B abbilden, und Das Bild hat nur die Dimension
> 1.
>  
> 3. Die in 2 erwähnten Bilder bilden einen Unterraum U in B
> oder ggf. ganz B. Wenn a=dim(A)-dim(U) ist, hat der kern
> die Dimension a.
>  
> Beispiel:
> dim A = 6 und dim B = 4.
> Dann kannst du zu den 6 Basisvektoren aus A höchstens 4
> linear unabhängige aus B treffen, und der Kern A hat die
> Dimension 2.
> Bildest du die 6 Basisvektoren auf 6 beliebige in B ab, von
> denen aber nur 3 linear unabhängig und die 3 anderen
> Linearkombinationen dieser 3 sind, so hat der Kern die
> Dimension 6-3=3
>  
> Beispiel:
>  Dim A=4, dim B = 6.
>  Ist die Dimension vom Bild 4 (und mehr geht nicht), so ist
> die Dimension vom Kern 0. Ist die Dimension vom Bild 3, so
> ist die Dimension vom Kern 1.
>
> Vereinfacht ausgedrückt: Jeder Basisvektor aus A, der in B
> keine neue Dimension "aufmacht", macht den Kern eine
> Dimension größer (wobei die Zählung mit 0 anfängt).
>  
>
>  


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