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Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Do 26.10.2017
Autor: Flowbro

Aufgabe
1):
Es sei f : X → Y eine Abbildung und M,N ⊂ Y. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) Aus M ⊂ N folgt f−1 (M) ⊂ f−1 (N).
(ii) f−1 (M ∪N) = f−1 (M)∪f−1 (N).
(iii) f−1 [mm] (M\N) [/mm] = f−1 [mm] (M)\f−1 [/mm] (N).

2):
Es sei f : X → Y eine Abbildung. Weiter seien A,B ⊂ X und M ⊂ Y. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) Aus A ⊂ B folgt f (A) ⊂ f (B).
(ii) A ⊂ f−1 (f (A)) und ff−1 (M)⊂ M.
(iii) f (A∪B) = f (A)∪f (B) und f (A∩B) ⊂ f (A)∩f (B). Zeigen Sie zudem anhand eines Beispiels, dass im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.


kann mir hier einer helfen, wie man die aufgaben macht.
die gleichheit kann man wohl mit ner konstante irgendwie widerlegen, weiß aber nich genau wie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 Fr 27.10.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

Voraussetzung zum Lösen der Aufgaben ist natürlich, daß Du weißt, wie Teilmenge, Bild und Urbild einer Menge definiert sind.
Ansonsten: nachschlagen!

> 1):
>  Es sei f : X → Y eine Abbildung und M,N ⊂ Y. Beweisen
> Sie folgende Aussagen:
> (i) Aus M ⊂ N folgt [mm] f^{-1} [/mm] (M) ⊂ [mm] f^{-1 }(N). [/mm]

Sei [mm] M\subset [/mm] M. (Dann liegt jedes Element von M auch in N.)

Wir nehmen nun ein Element aus [mm] f^{-1} [/mm] (M) und zeigen, daß es auch in  [mm] f^{-1 }(N) [/mm] liegt. Damit ist dann die zu beweisende Teilmengenbeziehung gezeigt.
Los geht's:

Sei [mm] x\in f^{-1} [/mm] (M).

Nach Definition des Urbildes gilt dann [mm] f(x)\in [/mm] M.
Weil nach Voraussetzung M eine Teilmenge von N ist,
ist [mm] f(x)\in [/mm] N,
nach Definition des Urbildes also [mm] x\in f^{-1}(N). [/mm]

Gezeigt wurde, daß jedes Element von [mm] f^{-1} [/mm] (M) auch in  [mm] f^{-1 }(N) [/mm] liegt,
also gilt [mm] f^{-1} [/mm] (M) ⊂ [mm] f^{-1 }(N). [/mm]



> (ii) [mm] f^{-1 }(M [/mm] ∪N) = [mm] f^{-1 }(M)∪f−1 [/mm] (N).

Hier ist die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen.
Dazu ist zweierlei nachzuweisen:
a. [mm] f^{-1 }(M [/mm] ∪N) [mm] \subseteq f^{-1 }(M)∪f−1 [/mm] (N)
b. [mm] f^{-1 }(M)∪f−1 (N)\subseteq f^{-1 }(M [/mm] ∪N)

zu a.
Sei [mm] x\in f^{-1 }(M [/mm] ∪N)
==> [mm] f(x)\in [/mm] ...
usw.

Versuche es!


> (iii) f−1 [mm](M\N)[/mm] = f−1 [mm](M)\f−1[/mm] (N).

Wieder beide Teilmengenbeziehungen zeigen.


>
> 2):
>  Es sei f : X → Y eine Abbildung. Weiter seien A,B ⊂ X
> und M ⊂ Y. Beweisen Sie folgende Aussagen:
> (i) Aus A ⊂ B folgt f (A) ⊂ f (B).

Sei [mm] A\subset [/mm] B und [mm] y\in [/mm] f(A).
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] A mit f(x)=y.
Weil [mm] A\subset [/mm] B ist x ... usw.

Um die restlichen Aufgaben kümmern wir uns später,
wenn Du die anderen fertig und verstanden hast.

LG Angela


> (ii) A ⊂ f−1 (f (A)) und ff−1 (M)⊂ M.
> (iii) f (A∪B) = f (A)∪f (B) und f (A∩B) ⊂ f (A)∩f
> (B). Zeigen Sie zudem anhand eines Beispiels, dass im
> Allgemeinen keine Gleichheit gilt.
>  kann mir hier einer helfen, wie man die aufgaben macht.
>  die gleichheit kann man wohl mit ner konstante irgendwie
> widerlegen, weiß aber nich genau wie
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Sa 28.10.2017
Autor: Flowbro

Ok, vielen Dank schonmal, die Aufgabe 1. i)- iii) und die Aufgabe 2. i) hab ich damit schonmal hinbekommen.

Bei Aufgabe 2. i) hab ich dann als Begründung:
es gilt: [mm] A\subset [/mm] B
und dann sei [mm] x\varepsilon [/mm] f(A) -> [mm] f^-1(x)\varepsilon [/mm] A -> [mm] f^-1(x)\varepsilon [/mm] B -> [mm] x\varepsilon [/mm] f(B)

Bei Aufgabe 2 ii) und iii) bräuchte ich nochmal Hilfe für einen Ansatz

Viele Grüße


Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Sa 28.10.2017
Autor: angela.h.b.

>>> [mm] A\subset [/mm] B ==> [mm] f(A)\subset [/mm] f(B)
> Bei Aufgabe 2. i) hab ich dann als Begründung:
>  es gilt: [mm]A\subset[/mm] B
>  und dann sei [mm]x\varepsilon[/mm] f(A) -> [mm]f^-1(x)\varepsilon[/mm] A ->

Hallo,

an dieser Stelle bin ich skeptisch:

ich denke, Ihr habt für eine Menge M ihr Urbild [mm] f^{-1}(M) [/mm] definiert.
Für [mm] x\in [/mm] f(A) schreibst Du nun [mm] f^{-1}(x), [/mm] also das Urbild eines Elementes, und ich fürchte, daß Ihr das gar nicht definiert habt.
Wenn, dann müßte es [mm] f^{-1}(\{x\}) [/mm] heißen. Das ist eine Menge, so daß wiederum [mm] f^{-1}(\{x\})\red{\in}A [/mm] sinnlos wäre.
Außerdem stimmt es auch für [mm] \red{\subset } [/mm] nicht:
f: [mm] \IZ\to \IZ [/mm]
mit
[mm] f(x):=x^2, [/mm]
und sei A:={1,2}
Dann ist [mm] f(A)=\{1,4\}, [/mm]
und  [mm] f^{-1}(\{1\})=\{-1,1\}. [/mm]

Schau Dir nochmal an, wie ich die Aufgabe begonnen habe und überzeuge Dich davon, daß Du damit genau an den Definitionen der Vorlesung bist.

Achso, das habe ich zuvor ganz vergessen: jeden Schritt, den Du machst, mußt Du mit einer Def. oder einem Satz der Vorlesung begründen können.
Normalerweise schreibt man die entsprechende Nr. immer dazu.

> > > (ii) A ⊂ f−1 (f (A)) und ff−1 (M)⊂ M.

zu zeigen: [mm] A\subset f^{-1}(f(A)) [/mm]

Hierfür rechne vor, daß jedes [mm] x\in [/mm] A auch in [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] liegt:

sei [mm] x\in [/mm] A.
Dann ist [mm] f(x)\in [/mm] f(A) ==> ...


Für die andere Aussage:

sei [mm] y\in f(f^{-1}(M)) [/mm] ==> es gibt ein [mm] x\in f^{-1}(M) [/mm] mit ... usw.


Bei iii) sind für die Gleichheit der Mengen beide Teilmengenbeziehungen zu zeigen.
Leg mal los und zeige, wie weit Du kommst.

LG Angela



> [mm]f^-1(x)\varepsilon[/mm] B -> [mm]x\varepsilon[/mm] f(B)
>  
> Bei Aufgabe 2 ii) und iii) bräuchte ich nochmal Hilfe für
> einen Ansatz
>  
> Viele Grüße
>  


Bezug
                                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Sa 28.10.2017
Autor: Flowbro

ok, dann probier ich es nochmal anders, ich bin mir aber nicht sicher, da wir nur folgende Def. hatten:
Seien X, Y Mengen und A c X, B c Y. Sei f : X -> Y eine Abbildung. Dann heißt f(A) = Bild (A) := f(x); x [mm] \varepsilon [/mm] A ,die Bildmenge von A und f^-1(B) :={x [mm] \varepsilon [/mm] A|f(x) [mm] \varepsilon [/mm] B} das Urbild von B.

2. i)
Sei $ [mm] A\subset [/mm] $ B und $ [mm] y\in [/mm] $ f(A).
Dann gibt es ein $ [mm] x\in [/mm] $ A mit f(x)=y.
Weil $ [mm] A\subset [/mm] $ B ist x [mm] \varepsilon [/mm] B
Da f(x)=y gilt, ist [mm] y\varepsilon [/mm] f(B)

2. ii)
a) x [mm] \varepsilon [/mm] A -> f(x) [mm] \varepsilon [/mm] f(A) -> f^-1(f(x)) [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(f(A)) ?
b)sei y [mm] \varepsilon [/mm] f(f^-1(M)); es existiert ein x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(M) mit y [mm] \varepsilon [/mm] f(x) -> ?

bei der 2. iii) weiß ich nicht so richtig

Ist die 1. ii) denn sonst richtig?:
1. ii) z.z.: f^-1(MuN)=f^-1(M) u f^-1(N)
a) es sei x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(MuN) -> f(x) [mm] \varepsilon [/mm] (MuN) -> [mm] f(x)\varepsilon [/mm] M oder f(x) [mm] \varepsilon [/mm] N -> x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(M) oder x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(N) -> x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(M) u f^-1(N)
b) es sei x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(M) u f^-1(N) -> x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(M) oder x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(N) -> [mm] f(x)\varepsilon [/mm] M oder f(x) [mm] \varepsilon [/mm] N -> f(x) [mm] \varepsilon [/mm] (MuN) -> x [mm] \varepsilon [/mm] f^-1(MuN)


Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 So 29.10.2017
Autor: angela.h.b.


> ok, dann probier ich es nochmal anders, ich bin mir aber
> nicht sicher, da wir nur folgende Def. hatten:
>  Seien X, Y Mengen und A c X, B c Y. Sei f : X -> Y eine

> Abbildung. Dann heißt f(A) = Bild (A) := f(x); x
> [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A ,die Bildmenge von A und f^-1(B) :={x

> [mm]\varepsilon[/mm] A|f(x) [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B} das Urbild von B.

Hallo,

ja, das sind die Definitionen, mit denen Du arbeiten mußt.

>
> 2. i)
>  Sei [mm]A\subset[/mm] B und [mm]y\in[/mm] f(A).
>  Dann gibt es ein [mm]x\in[/mm] A mit f(x)=y.
>  Weil [mm]A\subset[/mm] B ist x [mm]\varepsilon[/mm] B
>  Da f(x)=y gilt, ist [mm]y\varepsilon[/mm] f(B)

Genau.

>  
> 2. ii)
>  a) x [mm]\varepsilon[/mm] A -> f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(A) -> f^-1(f(x))

> [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(f(A)) ?

Dasselbe Problem wie in meinem vorhergehenden Beitrag angesprochen:
Ihr habt das Urbild von Mengen definiert.
f(x) ist ein Element von Y, und das Urbild eines Elementes habt Ihr nicht definiert. (Du kannst natürlich das Urbild einer einelementigen Menge betrachten - es könnte jedoch durchaus aus vielen Elementen bestehen.)

Du hattest [mm] f(x)\in [/mm] f(A) ==> ??? Im Urbild einer welchen Menge ist x dann?


>  b)sei y [mm]\varepsilon[/mm] f(f^-1(M)); es existiert ein x
> [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(M) mit y [mm]\varepsilon[/mm] f(x)

Quatsch! Richtig ist: [mm] y\red{=}f(x). [/mm]

Und nun überlege: x ist im Urbild von M. In welcher Menge liegt dann f(x) und damit auch y?



-> ?

>  
> bei der 2. iii) weiß ich nicht so richtig

Was meinst Du damit?
Hast Du die beiden zu zeigenden Teilmengenbeziehngen notiert?

Und dann zeig mal, was Du getan hast.
So ins Blaue hinein einen Rat zu geben ist schwer,
und außerdem wollen wir schon sehen, wie weit Du selbst kommst und wo es klemmt.

>  
> Ist die 1. ii) denn sonst richtig?:
>  1. ii) z.z.: f^-1(MuN)=f^-1(M) u f^-1(N)
>  a) es sei x [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(MuN) -> f(x) [mm]\varepsilon[/mm]

> (MuN) -> [mm]f(x)\varepsilon[/mm] M oder f(x) [mm]\varepsilon[/mm] N -> x
> [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(M) oder x [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(N) -> x
> [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(M) u f^-1(N)
>  b) es sei x [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(M) u f^-1(N) -> x [mm]\varepsilon[/mm]

> f^-1(M) oder x [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(N) -> [mm]f(x)\varepsilon[/mm] M
> oder f(x) [mm]\varepsilon[/mm] N -> f(x) [mm]\varepsilon[/mm] (MuN) -> x
> [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(MuN)

Die ist richtig.

LG Angela

>  


Bezug
                                                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 So 29.10.2017
Autor: Flowbro

2. ii)
a)x $ [mm] \varepsilon [/mm] $ A -> f(x) $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f(A) -> ist x dann [mm] \in [/mm] f^-1(y) -> x [mm] \in [/mm] f^-1 (f(A)) ?

b)x $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f^-1(M) mit y =f(x)
->f(x) [mm] \in [/mm] M -> y [mm] \in [/mm] M -> f(f^-1(M)) [mm] \in [/mm] M

2. iii) z.z. f(AuB)=f(A) u f(B)
a) sei x [mm] \in [/mm] f(AuB) -> x [mm] \in [/mm] f(A oder B) -> x [mm] \in [/mm] f(A) oder x [mm] \in [/mm] f(B) -> x [mm] \in [/mm] f(A) u f(B)
b) sei x [mm] \in [/mm] f(A) u f(B) -> x [mm] \in [/mm] f(A) oder x [mm] \in [/mm] f(B) -> x [mm] \in [/mm] f(A oder B) -> x [mm] \in [/mm] f(AuB)

und z.z. f(A [mm] \cap [/mm] B) c f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
es sei x [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) -> x [mm] \in [/mm] f(A und B) -> x [mm] \in [/mm] f(A) und x [mm] \in [/mm] f(B) -> x [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)

bei einem Beispiel für die Gleichheit bräuchte ich nochmal Hilfe

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Mo 30.10.2017
Autor: angela.h.b.

Guten Morgen!

> 2. ii)
>  a)x [mm]\varepsilon[/mm] A -> f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(A) -> x [mm]\in[/mm] f^-1 (f(A)) ?

Ja.



  Es gibt ein

> b)x [mm]\varepsilon[/mm] f^-1(M) mit y =f(x)
>  ->f(x) [mm]\in[/mm] M -> y [mm]\in[/mm] M

Aus [mm] y\in [/mm] f( [mm] f^{-1}(M)) [/mm] folgt also [mm] y\in [/mm] M
und damit gilt

> -> f(f^-1(M)) [mm]\red{\subset}[/mm] M


>  
> 2. iii) z.z. f(AuB)=f(A) u f(B)
>  a) sei x [mm]\in[/mm] f(AuB)

Dann existiert ein [mm] c\in [/mm] ... mit f(c)=x
... ... ...

> -> x [mm]\in[/mm] f(A)
> oder x [mm]\in[/mm] f(B) -> x [mm]\in[/mm] f(A) u f(B)


>  b) sei x [mm]\in[/mm] f(A) u f(B) -> x [mm]\in[/mm] f(A) oder x [mm]\in[/mm] f(B) ->

==> es existiert ein c ...   oder es existiert ein c ...
...

> x [mm]\in[/mm] f(A oder B) -> x [mm]\in[/mm] f(AuB)


>  
> und z.z. f(A [mm]\cap[/mm] B) c f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>  es sei x [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)

==> es existiert ...

> -> x [mm]\in[/mm] f(A)
> und x [mm]\in[/mm] f(B) -> x [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)


>  
> bei einem Beispiel für die Gleichheit bräuchte ich
> nochmal Hilfe

Moment! Du sollst zeigen, daß im allgemeinen keine Gleichheit gilt,
sollst also ein Beispiel liefern, in welchem f (A∩B)  und f (A)∩f (B) nicht gleich sind.
Was hast Du denn bisher versucht?
Laß uns mal an Deinen Überlegungen teilnehmen. Vielleicht kann man sie aufgreifen und zu etwas Passendem machen.

LG Angela


Bezug
                                                                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Mo 30.10.2017
Autor: Flowbro

ok also ist meine 2. iii) so noch nicht richtig.

Ist meine 2. ii) denn jetzt so richtig ?
z.z. f(AuB)=f(A) u f(B)
1) sei y $ [mm] \in [/mm] $ f(AuB), Dann existiert ein $ [mm] x\in [/mm] $ (AuB) mit f(x)=y -> x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B -> y [mm] \in [/mm] (f(A) u f(B))-> f(AuB) [mm] \in [/mm] f(A) u f(B)
2) sei y [mm] \in [/mm] f(A) und y [mm] \in [/mm] f(B), Dann existiert x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B mit f(x)=y -> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) -> und somit gilt y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) -> f(A) u f(B) [mm] \in [/mm] f(AuB)

bei z.z. f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) c f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ f(B) geht das dann genau so


Ein Beispiel für die Ungleichheit fällt wirklich nicht ein, es soll aber irgendwas mit einer Konstante zu tun haben?!


Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Mo 30.10.2017
Autor: angela.h.b.


> ok also ist meine 2. iii) so noch nicht richtig.
>  
> Ist meine 2. ii) denn jetzt so richtig ?
>  z.z. f(AuB)=f(A) u f(B)
>  1) sei y [mm]\in[/mm] f(AuB), Dann existiert ein [mm]x\in[/mm] (AuB) mit
> f(x)=y -> x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B ->

==> [mm] f(x)\in [/mm] f(A) oder [mm] f(x)\in [/mm] f(B) ==>

> f(x)= y [mm]\in[/mm] (f(A) u f(B)),

also ist

> f(AuB) [mm]\in[/mm] f(A) u f(B)

Es muß heißen [mm] f(AuB)\subset [/mm] f(A) u f(B) !

>  2) sei y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm] f(B),

Moment!!! Es geht doch  um die Menge [mm] f(A)\cup [/mm] f(B) ???
Ich glaube, Du bist gerade etwas durcheinander...


> bei z.z. f(A [mm]\cap[/mm] B) c f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) geht das dann genau
> so
>  
>
> Ein Beispiel für die Ungleichheit fällt wirklich nicht
> ein, es soll aber irgendwas mit einer Konstante zu tun
> haben?!

Ich würde echt gerne etwas von Deinen Überlegungen sehen.
Dann zeig mir Deine Beispiele, bei denen Du immer Gleichheit hattest, damit wir sie passend umarbeiten können.

LG Angela

>  


Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Mo 30.10.2017
Autor: Flowbro

Ups, ich hab da nur statt oder und geschrieben, so müsste es richtig sein?

sei y $ [mm] \in [/mm] $ f(AuB), Dann existiert ein $ [mm] x\in [/mm] $ (AuB) mit f(x)=y -> x $ [mm] \in [/mm] $ A oder x $ [mm] \in [/mm] $ B -> $ [mm] f(x)\in [/mm] $ f(A) oder $ [mm] f(x)\in [/mm] $ f(B) -> f(x)=y $ [mm] \in [/mm] $ (f(A) u f(B))-> f(AuB) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) u f(B)
2) sei y $ [mm] \in [/mm] $ f(A) oder y $ [mm] \in [/mm] $ f(B) -> f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) oder f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(B) -> x $ [mm] \in [/mm] $ (A $ u $ B) -> und somit gilt y $ [mm] \in [/mm] $ f(A $ u $ B) -> f(A) u f(B) $ [mm] \in [/mm] $ f(AuB)

zur Ungleichheit: bei einer quadratischen oder anderen trigonometrischen Fkt. müsste doch immer Gleichheit gelten, da ja nur die Elemente genommen werden, die in A und B liegen.
Aber ich komme echt nicht drauf, wieso das bei einer Konstanten nicht der Fall sein sollte.

Bezug
                                                                                
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mo 30.10.2017
Autor: fred97


> Ups, ich hab da nur statt oder und geschrieben, so müsste
> es richtig sein?
>  
> sei y [mm]\in[/mm] f(AuB), Dann existiert ein [mm]x\in[/mm] (AuB) mit f(x)=y
> -> x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B -> [mm]f(x)\in[/mm] f(A) oder [mm]f(x)\in[/mm] f(B)
> -> f(x)=y [mm]\in[/mm] (f(A) u f(B))-> f(AuB) [mm]\in[/mm] f(A) u f(B)

Hier meinst Du wohl am Ende  f(AuB) [mm]\subset[/mm] f(A) u f(B). Ansonsten ist es O.K.

>  2) sei y [mm]\in[/mm] f(A) oder y [mm]\in[/mm] f(B) -> f(x) [mm]\in[/mm] f(A) oder  f(x) [mm] \in [/mm] f(B)

Wo kommt das x her ????

ich zeigs Dir: ist y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B), so ist y [mm] \in [/mm] f(A) oder y [mm] \in [/mm] f(B). Wir können von  y [mm] \in [/mm] f(A)  aus gehen, denn den Fall  y [mm] \in [/mm] f(B) behandelt man analog.

Es ist also  y [mm] \in [/mm] f(A). Somit gibt es ein x [mm] \in [/mm] A mit y=f(x). Dann ist aber auch x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und daher y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B).

Damit ist gezeigt:  f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) [mm] \subset [/mm]  f(A [mm] \cup [/mm] B).




>  
> zur Ungleichheit: bei einer quadratischen oder anderen
> trigonometrischen Fkt. müsste doch immer Gleichheit
> gelten, da ja nur die Elemente genommen werden, die in A
> und B liegen.
>  Aber ich komme echt nicht drauf, wieso das bei einer
> Konstanten nicht der Fall sein sollte.

Meinst Du hier, dass im allgemeinen f (A∩B)  [mm] \ne [/mm] f (A)∩f (B) gilt ?

Wenn ja, so betrachte mal die Situation X=Y= [mm] \IR [/mm] und die konstante Funktion f(x)=0.

Ist A= [mm] \IN [/mm] und [mm] B=\{-1,-2\}, [/mm] so ist A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset, [/mm] also

f( A [mm] \cap [/mm] B)= [mm] \emptyset [/mm]

aber f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = [mm] \{0\}. [/mm]





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Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mo 30.10.2017
Autor: Flowbro

Damit ist mir sehr geholfen, euer Forum ist echt klasse!

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