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Abbildungen + Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Sa 28.10.2017
Autor: Flauschling

Aufgabe
Seien X und Y Mengen sowie f : X → Y eine Abbildung. Man zeige:
a) Ist C ⊆ Y , so gilt f(f
−1
(C)) ⊆ C.
b) In a) gilt im Allgemeinen nicht Gleichheit.
c) f ist genau dann surjektiv, wenn für jedes C ⊆ Y gilt: f(f
−1
(C)) = C.


Hallo erst mal,

Aufgabenteil a) davon ist bereits erledigt. Es geht mir nur noch um b) und c).
In b) bin ich mir nicht ganz sicher wie ich das ganze anzustellen habe. Ich habe anderswo schon eine Art Lösung gefunden allerdings mit sehr konkreten Beispielen (Menge aller Kurse und Wochen, ... und so weiter), welche mir zwar auch einleuchtend erscheint. Aber wollte fragen, ob es dazu auch noch einen eher mathematischen Lösungsweg gäbe?
Und zu c) die Surjektivität (zu allen y gibt es mindestens ein x) ist mir geläufig. Dennoch finde ich keinen Lösungsweg dazu.
Hier wäre also ein Lösungsansatz hilfreich.


        
Bezug
Abbildungen + Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Sa 28.10.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

um die Gleichheit zu widerlegen, mußt Du eine konkrete Funktion auf konkreten Mengen und eine konkrete Teilmenge C angeben und anhand dieser zeigen, daß keine Gleichheit gilt.

Merke: widerlegen tut man immer mit einem Gegenbeispiel.
Aufgabenteil c) liefert ja einen Hinweis darauf, wie das Gegenbeispiel beschaffen sein muß.

> c) f ist genau dann surjektiv, wenn für jedes C ⊆ Y gilt: [mm] f(f^{-1}(C)) [/mm] = C

"==>" sei [mm] f:X\to [/mm] Y surjektiv und sei [mm] C\subseteq [/mm] Y.

Wg. a) mußt Du nun nur noch zeigen, daß [mm] C\subseteq f(f^{-1}(C)). [/mm]

Sei [mm] c\in [/mm] C. Da f surjektiv, gibt es ein [mm] x\in [/mm] X mit f(x)=c.
Also ist [mm] x\in [/mm] ... usw.

"<==" Betrachte für [mm] y\in [/mm] Y [mm] f(f^{-1}(\{y\}))... [/mm]

LG Angela



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