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Forum "Funktionalanalysis" - Abbildungsnorm
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Abbildungsnorm: Heuser, Ana2, 114.4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:43 So 06.03.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Im folgenden sei $A [mm] \in \mathfrak{S}(\mathbb{R}^p)$, [/mm] $p [mm] \geq [/mm] 2$.

b) Wird [mm] $\mathbb{R}^p$ [/mm] mit der [mm] $l^{1}$-Norm [/mm] versehen, so ist [mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] {\parallel [A] \parallel}_1$ [/mm]

c) Wird [mm] $\mathbb{R}^p$ [/mm] mit der [mm] $l^{2}$-Norm [/mm] versehen, so ist [mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel \leq {\parallel [A] \parallel}_2$ [/mm]

Wobei im Heuser die Notation verwendet wird, dass [mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel$ [/mm] die normle Abbildungsnorm, [mm] ${\parallel [A] \parallel}_1$ [/mm] die Spaltensummennorm und [mm] ${\parallel [A] \parallel}_2$ [/mm] die Quadratsummennorm ist und $[A]$ selbstverständlich die Matrix der linearen Abbildung $A$.

Hallo,

ich komme hier schon wieder nicht weiter.

Bei b) versuche ich, [mm] $\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel [/mm] = [mm] {\parallel [A] \parallel}_1 [/mm] * [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] zu zeigen, erhalte jedoch nur die Abschätzung [mm] $\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \leq {\parallel [A] \parallel}_1 [/mm] * p * [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel$. [/mm]

Bei c) wähle ich den gleichen Ansatz und erhalte

[mm] $\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^p (\summe_{k=1}^p |a_{jk}|)^2 )^{\bruch{1}{2}}$ [/mm]

Wobei die Summen gegen die Quadratsummennorm abgeschätzt werden müssten.

Für jede Hilfe bin ich wie immer dankbar.

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Abbildungsnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 So 06.03.2016
Autor: fred97


> Im folgenden sei [mm]A \in \mathfrak{S}(\mathbb{R}^p)[/mm], [mm]p \geq 2[/mm].
>  
> b) Wird [mm]\mathbb{R}^p[/mm] mit der [mm]l^{1}[/mm]-Norm versehen, so ist
> [mm]\parallel A \parallel = {\parallel [A] \parallel}_1[/mm]
>  
> c) Wird [mm]\mathbb{R}^p[/mm] mit der [mm]l^{2}[/mm]-Norm versehen, so ist
> [mm]\parallel A \parallel \leq {\parallel [A] \parallel}_2[/mm]
>  
> Wobei im Heuser die Notation verwendet wird, dass [mm]\parallel A \parallel[/mm]
> die normle Abbildungsnorm, [mm]{\parallel [A] \parallel}_1[/mm] die
> Spaltensummennorm und [mm]{\parallel [A] \parallel}_2[/mm] die
> Quadratsummennorm ist und [mm][A][/mm] selbstverständlich die
> Matrix der linearen Abbildung [mm]A[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich komme hier schon wieder nicht weiter.
>
> Bei b) versuche ich, [mm]\parallel Ax \parallel = {\parallel [A] \parallel}_1 * \parallel x \parallel[/mm]
> zu zeigen, erhalte jedoch nur die Abschätzung [mm]\parallel Ax \parallel \leq {\parallel [A] \parallel}_1 * p * \parallel x \parallel[/mm].
>  
> Bei c) wähle ich den gleichen Ansatz und erhalte
>  
> [mm]\parallel Ax \parallel \leq \parallel x \parallel * (\summe_{j=1}^p (\summe_{k=1}^p |a_{jk}|)^2 )^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> Wobei die Summen gegen die Quadratsummennorm abgeschätzt
> werden müssten.
>
> Für jede Hilfe bin ich wie immer dankbar.


Machen wir das mal so:

Die Spalten von A seien [mm] s_1,...,s_n. [/mm] Sei [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n. [/mm] Dann:

[mm] ||Ax||_1=||x_1s_1+...+x_ns_n||_1 \le |x_1|*||s_1||_1+|x_n|*||s_n||_1 \le (|x|_1+....+|x_n|)* \max\{||s_1||_1,...,||s_n||\}. [/mm]

Jetzt Du.

Zu c):

[mm] ||Ax||_2=||x_1s_1+...+x_ns_n||_2 \le |x_1|*||s_1||_2+|x_n|*||s_n||_2 [/mm]

Die letzte Summe rechts schätze mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ab.

FRED

>  
> Gruß,
>  Sandro


Bezug
                
Bezug
Abbildungsnorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:45 Mo 07.03.2016
Autor: sandroid


Vielen Dank dir, Fred, für deine hilfreiche Antwort.

Vielleicht kannst du mir auch bei der nächsten Teilaufgabe helfen.

Bezug
        
Bezug
Abbildungsnorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:43 Mo 07.03.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Die Zeilensummennorm, die Spaltensummennorm und die Quadratsummennorm sind Matrixalgebranormen.

Zu zeigen ist also jeweils, wenn ich das richtig verstanden habe, dass $||[AB]|| [mm] \leq [/mm] ||[A]|| * ||[B]||$ gilt, für jede der Normen.

Da bei der Zeilen- und der Spaltensummennorm ja Gleichheit mit der Abbildungsnorm gilt, kann ich mich darauf berufen, dass dies für die Abbildungsnorm gilt, richtig?

Aber wie funktioniert es bei der Quadratsummennorm? Ich habe versucht, die Ungleichung direkt zu zeigen, aber ohne Erfolg.

Bei mir enden diese Aufgaben stets nur in eine trostlos lange Kette von Summen.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Bezug
                
Bezug
Abbildungsnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mo 07.03.2016
Autor: fred97


> Die Zeilensummennorm, die Spaltensummennorm und die
> Quadratsummennorm sind Matrixalgebranormen.
>  Zu zeigen ist also jeweils, wenn ich das richtig
> verstanden habe, dass [mm]||[AB]|| \leq ||[A]|| * ||[B]||[/mm] gilt,
> für jede der Normen.

Ja, das hast Du richtig verstanden.


>  
> Da bei der Zeilen- und der Spaltensummennorm ja Gleichheit
> mit der Abbildungsnorm gilt, kann ich mich darauf berufen,
> dass dies für die Abbildungsnorm gilt, richtig?

Richtig.


>  
> Aber wie funktioniert es bei der Quadratsummennorm? Ich
> habe versucht, die Ungleichung direkt zu zeigen, aber ohne
> Erfolg.
>
> Bei mir enden diese Aufgaben stets nur in eine trostlos
> lange Kette von Summen.

Tja, das kommt wahrscheinlich daher, dass Du die formale Def. des Matrizenprodukts benutzt hast und dann die Quadratsummennorm ningeschrieben hast.


1. Zeige zunächst, mit Cauchy-Schwarz: ist C eine nxn- Matrix und x [mm] \in \IR^n, [/mm] so gilt:

   [mm] ||Cx||_2 \le ||C||_2*||x||_2. [/mm]

Dabei ist [mm] ||x||_2 [/mm] die Euklidnorm von x und [mm] ||C||_2 [/mm] die Quadratsummennorm von C.

2. Ist C eine nxn-Matrix und sind [mm] c_1,...,c_n [/mm] die Spalten von C, so überlege Dir:

   [mm] ||C||_2^2=||c_1||^2+...+||c_n||^2. [/mm]

3. Mach Dir über die Def. des Matrizenproduktes folgendes klar: sind A und B zwei nxn-Matrizen, so bekommst Du die j-te Spalte von AB als Matrix-Vektorprodukt von A mit der j-ten Spalte von B. D.h.: sind [mm] b_1,...,b_n [/mm] die Spalten von B, so sind die Spalten von AB gegeben durch

    [mm] Ab_1,...,Ab_n. [/mm]

4. Aus 2. und 3. bekommen wir:

  [mm] ||AB||_2^2=||Ab_1||_2^2+....+||Ab_n||_2^2. [/mm]

Mit 1. folgt:

  [mm] ||AB||_2^2 \le ||A||_2^2(||b_1||_2^2+...+||b_n||_2^2) [/mm]

Mit 2. ergibt sich:

   [mm] ||AB||_2^2 \le ||A||_2^2(||b_1||_2^2+...+||b_n||_2^2)= ||A||_2^2* ||B||_2^2 [/mm]

und damit

   [mm] ||AB||_2 \le ||A||_2*||B||_2 [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank für jede Hilfe.


Bezug
                        
Bezug
Abbildungsnorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Mo 07.03.2016
Autor: sandroid


Vielen Dank, da war ja dann doch einiges zu tun, hätte ich erst nicht gedacht.

Vielleicht werde ich auf so etwas eines ganz fern scheinenden Tages einmal selbst drauf kommen ;) Ich merke mir auf jeden Fall den Trick mit den Spalten bei der Matrix-Vektor-Multiplikation.

Gruß,
Sandro



Bezug
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