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| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft x²=e für alle [mm] $x\in [/mm] G$. Zeigen Sie, dass G abelsch ist. |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich bereite derzeit für eine Klausur vor und rechen nochmal alle Übungszettel durch.
Ist meine Lösung zur Aufgabe so korrekt?
Es gibt 3 Fälle:
1. [mm] $e\circ e=e\circ [/mm] e$
2. [mm] $x\circ x=x\circ [/mm] x$
3. [mm] $x\circ e=e\circ [/mm] x$
1.-2. sind klar.
Für den 3. Fall gilt:
[mm] $x\circ (x\circ x^{-1})=(\underbrace{x\circ x}_{=e})\circ\underbrace{x^{-1}}_{=x}=e\circ [/mm] x$
Vielen Dank schon Mal im Voraus für eure Unterstützung.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft x²=e für alle
> [mm]x\in G[/mm]. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich bereite derzeit für eine Klausur vor und rechen
> nochmal alle Übungszettel durch.
>
> Ist meine Lösung zur Aufgabe so korrekt?
Nein !
>
> Es gibt 3 Fälle:
>
> 1. [mm]e\circ e=e\circ e[/mm]
> 2. [mm]x\circ x=x\circ x[/mm]
> 3. [mm]x\circ e=e\circ x[/mm]
>
> 1.-2. sind klar.
Was soll das ?????
>
> Für den 3. Fall gilt:
>
> [mm]x\circ (x\circ x^{-1})=(\underbrace{x\circ x}_{=e})\circ\underbrace{x^{-1}}_{=x}=e\circ x[/mm]
????
Du sollst zeigen:
gilt [mm] x^2=e [/mm] für alle $ [mm] x\in [/mm] G $, so gilt für x,y [mm] \in [/mm] G:
$ x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ [/mm] x$
FRED
>
> Vielen Dank schon Mal im Voraus für eure Unterstützung.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Moin Christoph,
ich habe verstanden. Leider steht das nicht so in der Aufgabe.
[mm] $x\circ [/mm] y= [mm] y\circ x\iff [/mm] y= [mm] x\circ y\circ x\iff y\circ x=x\circ [/mm] y$
Ist das so in deinem Sinne?
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 02.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast nichts gezeigt, du hast ja auch x*x=e für x und y nicht benutzt, wie willst du dann was beweisen? Alle deine Äquivalenzpfeile sind völlig willkürlich , nicht begründet und i.A. falsch
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich habe als erstes das x von links und dann von rechts multipliziert. Also:
[mm] $x\circ y=y\circ x\qquad|\circ [/mm] x$ (von links)
[mm] $\iff\underbrace{x\circ x}_{=e}\circ y=x\circ y\circ x\qquad| \circ [/mm] x$ (von rechts)
[mm] $\iff y\circ x=x\circ y\circ\underbrace{x\circ x}_{=e}$
[/mm]
[mm] $\iff y\circ x=x\circ [/mm] y$
Falls das grundsätzlich nicht richtig ist, was würdest du für einen Weg vorschlagen?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
etzt ist es IMO richtig. Und ich würde mich hier auch zu der Behauptung versteigen (obwohl ich wahrlich kein Algebra-Experte bin...): genau so war das auch gedacht.
EDIT: sorry für die vorschnelle Zustimmung. Es ist nach wie vor unbrauhbar, siehe dazu die Anmerkung von Sax.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Di 02.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
so war das mit Sicherheit nicht gedacht.
Aus x [mm] \circ [/mm] y = y [mm] \circ [/mm] x zu folgern, dass y [mm] \circ [/mm] x = x [mm] \circ [/mm] y ist, ist keine große Kunst.
Die Behauptung muss aus der Voraussetzung [mm] x^2=e [/mm] gefolgert werden !
Gruß Sax.
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Christoph, leduart, Diophant vielen Dank an euch.
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Hallo Christoph,
der Einwand von Sax war völlig berechtigt, meine vorzeitige Bestätigung war falsch (Multitasking und Müdigkeit, keine so gute Mischung...).
Daher hier ein Anfang:
- es ist generell [mm] (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1} [/mm] (falls das noch nicht bewiesen wurde: mache das halt en passant)
- [mm] x^2=e [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] x=x^{-1}
[/mm]
Mit diesen beiden Hinweisen solltest du klarkommen. Ein Anfang wäre IMO
[mm] xy=(xy)^{-1}=...
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin Christoph,
>
> ich habe verstanden. Leider steht das nicht so in der
> Aufgabe.
>
> [mm]x\circ y= y\circ x\iff y= x\circ y\circ x\iff y\circ x=x\circ y[/mm]
>
> Ist das so in deinem Sinne?
das ist doch langweilig; das würde Dir nur helfen, wenn Du die ganz rechte
Seite beweisen kannst. Sie ist aber in trivialer Weise sogar ohne die Kenntnis,
dass [mm] $x^2=e$ [/mm] gilt, mit der ganz linken Gleichheit gleichwertig: Vertausche
einfach $x [mm] \leftrightarrow y\,.$
Übrigens stimmt Deine Äquivalenzkette oben sicherlich:
Beim ersten $\Longrightarrow$ benutzt Du $x^2=e$ (und die Assoziativität) - man multipliziere links
$x\,$ dran - und Gleiches gilt auch beim ersten $\Longleftarrow$.
Aber wie gesagt: $x \circ y=y \circ x \iff y \circ x= x \circ y$ ist trivial:
Bspw. wegen Rollentausch von $x \leftrightarrow y,$ oder, eine andere Begründung:
Weil $=\,$ symmetrisch ist, also $a=b \iff b=a$ gilt.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 02.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft x²=e für alle
> [mm]x\in G[/mm]. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
man sieht hier leicht, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] G$ gilt
[mm] $(xy)(yx)=e\,,$
[/mm]
und ebenso gilt
[mm] $(xy)(xy)=(xy)^2=e\,.$
[/mm]
Da das Inverse (von [mm] $xy\,$) [/mm] eindeutig ist, folgt... ?
Gruß,
MArcel
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Hallo Marcel,
dann war wohl meine Lösung doch richtig. Vielen Dank für deine Nachrichten.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
>
> dann war wohl meine Lösung doch richtig.
???? nein, das war sie nicht !
FRED
> Vielen Dank für
> deine Nachrichten.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
> Hallo Marcel,
>
> dann war wohl meine Lösung doch richtig.
ich schließe mich Fred an: ??
Wo hast Du denn entsprechendes geschrieben? Das, was bei Dir richtig, aber
nicht zielführend war, war in der Tat (ich schreibe übrigens immer einfach nur
[mm] $xy\,$ [/mm] statt $x [mm] \circ [/mm] y$)
$xy=yx [mm] \iff [/mm] y=xyx [mm] \iff yx=xy\,.$
[/mm]
Bei "dem Mittelteil" verwendest Du da aber immer [mm] $x^2=e$ [/mm] sowie $eg=g$ und auch [mm] $ge=g\,$
[/mm]
für alle $g [mm] \in G\,.$
[/mm]
Allerdings gilt eh "immer" (also auch in Gruppen, in denen [mm] $x^2=e$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] G$
nicht(!!) vorausgesetzt wird)
$xy=yx [mm] \iff yx=xy\,,$
[/mm]
also fragt man sich: Wozu das Ganze?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel und Christoph,
dann werde ich den Ansatz von Diophant und Sax beherzigen.
[mm] $xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=(yx)^{-1}=yx$
[/mm]
Das müsste dann so stimmen.
Liebe Grüße
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel und Christoph,
>
> dann werde ich den Ansatz von Diophant und Sax beherzigen.
>
> [mm]xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=(yx)^{-1}=yx[/mm]
>
> Das müsste dann so stimmen.
Das vorletzte "=" gefällt mir nicht !
Es ist [mm] x=x^{-1} [/mm] und [mm] y=y^{-1}
[/mm]
Also:
[mm]xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Do 04.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Marcel und Christoph,
> >
> > dann werde ich den Ansatz von Diophant und Sax beherzigen.
> >
> > [mm]xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=(yx)^{-1}=yx[/mm]
> >
> > Das müsste dann so stimmen.
>
> Das vorletzte "=" gefällt mir nicht !
es steht etwas verloren im Raum, aber es stimmt trotzdem:
> Es ist [mm]x=x^{-1}[/mm] und [mm]y=y^{-1}[/mm]
Er weiß
[mm] $xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$
[/mm]
und damit auch [mm] $y^{-1}x^{-1}=yx=(yx)^{-1}\,.$
[/mm]
Die "logische Reihenfolge" in dieser Gleichungskette ist also der eigentliche
Mangel - wenn ich das zu korrigieren hätte, säße ich daher in der Tat in der
Zwickmühle:
Ich würde nicht erkennen, dass der-/diejenige, der/die das abliefert, sich
an der Stelle der Problematik bewußt ist. Andererseits ist alles, was da
steht, für sich richtig, und man kann noch nicht mal wirklich sagen, dass es
da einen logischen Fehler gibt. Man müßte den-/diejenigen wirklich
persönlich bitten, das vorzuführen, um herauszufinden, ob der/die sich der
Problematik bewußt ist, oder ob einfach "schlampig" gearbeitet wurde...
Gruß,
Marcel
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Hallo Christoph,
> Hallo Marcel und Christoph,
>
> dann werde ich den Ansatz von Diophant und Sax beherzigen.
>
> [mm]xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=(yx)^{-1}=yx[/mm]
>
> Das müsste dann so stimmen.
Wieso gilt [mm]y^{-1}x^{-1}=(yx)^{-1}[/mm] ??
Das kannst du dir doch sparen:
Wegen [mm]z^2=e[/mm] ist [mm]z^{-1}=z[/mm] für alle [mm]z[/mm] aus der Gruppe, also [mm]y^{-1}x^{-1}=yx[/mm]
Fertig!
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
LG
schachuzipus
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Vielen Dank an euch. Ich werde es beachten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 04.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn das Inverse so viel Mühe macht, dann zeige es direkt :
$ x*y = x*e*y = [mm] x*(x*y)^2*y [/mm] = x*x*y*x*y*y = [mm] x^2*y*x*y^2 [/mm] = e*y*x*e = y*x $
Gruß Sax.
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