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Forum "Functions" - Ableiten von Wurzelausdrücken
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Ableiten von Wurzelausdrücken: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:58 Fr 05/05/2017
Author: Kopfvilla

Aufgabe
[mm] h(z)=\wurzel{4 sin (\bruch{z}{2})+2} [/mm]


Ich soll die erste Ableitung bilden erste Idee wäre die Wurzel als Hochzahl umzuschreiben.

h(z)= (4 sin [mm] (\bruch{z}{2}))^{0,5}+2^{0,5} [/mm]
h'(z)= (2 sin [mm] (\bruch{z}{2}))^{-0,5}+1^{-0,5} [/mm]
h'(z)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{(2 sin (\bruch{z}{2}))+1}} [/mm]

Mein Ti spuckt mir einen ganz anderen Term aus hat jemand eine Idee was ich falsch gemacht habe? Würde mich über Antworten freuen!:)

        
Bezug
Ableiten von Wurzelausdrücken: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:12 Sa 06/05/2017
Author: Diophant

Hallo,

es ist i.a.

[mm] \wurzel{a+b}\ne{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm]

und die von dir angewendeten Ableitungsregeln müssen heute neu eingeführt worden sein. Ich jedenfalls kenne sie nicht.

Ironie beiseite: es wimmelt von Fehlern in deinem Posting. Bevor du das erfolgreich rechnen kannst bzw. wir das klären können solltest du dringend

- Potenzgesetze
- elementare Ableitungsregeln

studieren.


Gruß, Diophant


Bezug
        
Bezug
Ableiten von Wurzelausdrücken: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 01:47 Sa 06/05/2017
Author: tobit09

Hallo Kopfvilla!


Das Problem ist, wie Diophant schon schrieb, dass du "Rechen-Regeln" annimmst, die es gar nicht gibt.


Darüber hinaus scheint ein Verständnisproblem bei Ableitungen vorzuliegen:


Betrachten wir mal die Funktionen f und g mit

     [mm] $f(x)=x^2$ [/mm]    und    [mm] $g(x)=5^2$. [/mm]

Die zugehörigen Ableitungen sind gegeben durch:

     $f'(x)=2*x$     und    $g'(x)=0$.

Insbesondere haben wir z.B.

     [mm] $f(5)=5^2$ [/mm]     und   [mm] $g(5)=5^2$, [/mm]

aber

      $f'(5)=2*5$     und    $g'(5)=0$.

Wir haben also $f(5)=g(5)$, aber [mm] $f'(5)\not=g'(5)$. [/mm]

Es kommt für die Ableitung einer Funktion z.B. an der Stelle 5 also nicht nur auf den Funktionswert an der Stelle 5 an!


Entsprechend macht es einen Unterschied, ob du $k'(x)$ für die Funktion k gegeben durch

       [mm] $k(x)=2^{0,5}$ [/mm]

oder $l'(2)$ für die Funktion gegeben l durch

     [mm] $l(x)=x^{0,5}$ [/mm]

berechnest, obwohl $k(x)=l(2)$.


Entsprechend ist zwar [mm] $m(z)=l(4*\sin(\frac{z}{2}))$ [/mm] für die Funktion m gegeben durch

      [mm] $m(z)=(4*\sin(\frac{z}{2}))^{0,5}$, [/mm]

aber deshalb keineswegs [mm] $m'(z)=l'(4*\sin(\frac{z}{2}))$ [/mm] !


Vielleicht hilft dir folgende Vorstellung:
Es gilt nicht, einzelne Zahlen abzuleiten, sondern eine Funktion als Ganzes.
Entsprechend spielt beim Ableiten die Variable in der Funktionsvorschrift (meist x, in deinem Beispiel z) eine ganz andere Rolle als konstante Zahlen.


Ich würde dir grundsätzlich empfehlen, sehr kleinschrittig vorzugehen und viele Gedanken in Begründungen deiner Schritte durch Rechenregeln zu investieren.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Ableiten von Wurzelausdrücken: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:22 Sa 06/05/2017
Author: HJKweseleit


> [mm]h(z)=\wurzel{4 sin (\bruch{z}{2})+2}[/mm]

Die Aufgabe ist ein typisches Beispiel für das Ableiten von verschachtelten/verketteten Funktionen:

Die äußere Fkt. ist die Wurzel, die nächste der sinus und die letzte (harmlose) das Teilen durch 2.

Dabei geht man folgender maßen vor:




> Ich soll die erste Ableitung bilden erste Idee wäre die
> Wurzel als Hochzahl umzuschreiben.

genau!

Dazu bildest du zunächst mal die "normale" Ableitung:

[mm] (\wurzel{z})'= (z^{0,5})'=0,5 z^{-0,5} [/mm] = [mm] \bruch{0,5}{z^{0,5}}=\bruch{0,5}{\wurzel{z}}. [/mm]

Dasselbe mit den anderen beiden Funktionen:

(sin(z))'=cos(z)   und (z/2)'=0,5.


Jetzt geht es los:

Zunächst wird nur die äußere Funktion, die Wurzel, abgeleitet, in dem du in obiger Vorüberlegung das z durch alles ersetzt, was in der Wurzel steht, und zwar UNVERÄNDERT!

1. Bestandteil: [mm] \bruch{0,5}{\wurzel{4 sin (\bruch{z}{2})+2}} [/mm]

Nun Bildest du die Ableitung des gesamten ersetzten Ausdrucks (innere Funktion in der Wurzel), also von 4 sin [mm] (\bruch{z}{2})+2. [/mm] Dabei benutzt du beim sin wieder die obige Überlegung, ersetzt aber z durch z/2, was du UNVERÄNDERT einsetzt:

2. Bestandteil: 4 cos [mm] (\bruch{z}{2}) [/mm] + 0

Nun bildest du nochmals die Ableitung des inneren Bestandteils von sin:

3. Bestandteil: [mm] \bruch{1}{2} [/mm]


Dann ist die gesuchte Ableitung das Produkt der 3 Bestandteile:

h'(z)= [mm] \bruch{0,5}{\wurzel{4 sin (\bruch{z}{2})+2}}* [/mm] 4 cos [mm] (\bruch{z}{2})*\bruch{1}{2}, [/mm]

was sich noch vereinfachen lässt.



Hier noch ein Beispiel:

f(x)= [mm] sin((cos(tan(3x^2)+4))^2) [/mm]

Die Ableitungen sind: (sin(x))'=cos(x), [mm] (x^2)'= [/mm] 2x, (cos(x))'=-sin(x), [mm](tan(x))'=1+(tan(x))^2[/mm],  [mm] (3x^2)'=6x. [/mm]

Damit ergeben sich nun folgende Bestandteile:

1. Bestandteil: [mm] cos((cos(tan(3x^2)+4))^2) [/mm]  (aus sin wird cos, innen bleibt alles UNVERÄNDERT)

2. Bestandteil: [mm] 2(cos(tan(3x^2)+4)) [/mm]    (nur hoch 2 ableiten, das Innere bleibt UNVERÄNDERT)

3. Bestandteil: [mm] -sin(tan(3x^2)+4) [/mm]   (das Innere von hoch 2)

4. [mm] Bestandteil:1+(tan(3x^2))^2+0 [/mm]     (der tangens)

5. Bestandteil: 6 x        (Ableitung von [mm] 3x^2) [/mm]


Das Produkt aller Bestandteile ist die gesuchte Ableitung!



Bezug
                
Bezug
Ableiten von Wurzelausdrücken: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:48 Sa 06/05/2017
Author: tobit09

Hallo nochmal!


Ich möchte zwei Erklärungen ergänzen:


1. Zu HJKWeseleits Notation:

> [mm](\wurzel{z})'= (z^{0,5})'=0,5 z^{-0,5}[/mm]

Hier verwendet HJKweseleit [mm] $(\wurzel{z})'=0,5z^{-0,5}$ [/mm] als abkürzende Schreibweise für [mm] "$f'(z)=0,5z^{-0,5}$ [/mm] für alle $z$" für die Funktion $f$ gegeben durch [mm] "$f(z)=\wurzel{z}$ [/mm] für alle z".

Z.B. [mm] $(\wurzel{3})'$ [/mm] ist analog eine abkürzende Schreibweise für $g'(z)$ für die Funktion $g$ gegeben durch [mm] $g(z)=\wurzel{3}$. [/mm]
Es gilt somit [mm] $(\wurzel{3})'=0$. [/mm]

Die Crux dieser Kurzschreibweisen:
Obwohl [mm] $(\wurzel{z})'=0,5*z^{-0,5}$ [/mm] gilt, gilt also z.B. NICHT [mm] $(\wurzel{3})'=0,5*3^{-0,5}$. [/mm]

[mm] $(\wurzel{z})'=0,5*z^{-0,5}$ [/mm] meint also NICHT, dass für jede einzelne Zahl [mm] $\tilde{z}$ [/mm] die Gleichung [mm] $(\wurzel{\tilde{z}})'=0,5*\tilde{z}^{-0,5}$ [/mm] gilt (wie sonst bei Termumformungen üblich), sondern macht eine Aussage über die Ableitung einer Funktion (nicht über eine "Ableitung einer Zahl").


2. HJKWeseleit verwendet mehrfach die Kettenregel. Ich möchte das nicht konkret erläutern, da ich die vorliegende Funktion h für zu kompliziert zum ersten Erlernen der Kettenregel halte. Ich empfehle vielmehr zunächst das Studium der Kettenregel anhand einfacherer Beispiele.


Soweit meine ergänzenden Erklärungen für Kopfvilla.
Ich würde ihm/ihr wie gesagt grundsätzlich empfehlen, vorübergehend mit detaillierten Begründungen statt mit irgendwelchen unverstandenen Kochrezepten (womöglich für einzelne sehr spezielle Fälle) zu arbeiten, da ja gerade die Verwendung falscher Kochrezepte das Problem zu sein scheint.

Wenn du, Kopfvilla, einfache Beispiele für solche detailiierten Begründungen suchst, bin ich gerne bereit, entsprechende Beispiele zu liefern.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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