matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenAbleitung Wurzelfunktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitung Wurzelfunktion
Ableitung Wurzelfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung Wurzelfunktion: Hilfe bei Übungsaufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:35 Mi 23.03.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Es sei $ f: [mm] \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy} [/mm] $ definiert.
a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an allen Punkten [mm] $\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$ [/mm]
b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für alle$ [mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$ [/mm]
c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung  für den Vektor $ v [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ im Punkt [mm] $\vektor{0 \\ 0}$ [/mm]
d) Ist f in [mm] $\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ stetig und differenzierbar?

Ich tue mich mit der Diffenrenziation hier etwas schwer und das Ganze ist in meinem Skript so ohne gute Beispiele dargestellt, sodass ich gern einmal meine Lösung präsentieren würde. Ich bin mir vor allem für die Grenzbereiche mit x=0 bzw y=0 und entsprechend für den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] sehr unsicher.

$(a)$
Nach der Definition der Wurzel  ist diese nur für positive Zahlen definiert. Also ist die Funktion f nur definiert für [mm] $\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $a\cdot [/mm] b [mm] \geq [/mm] 0$  und somit kann f auch nur für diese [mm] $\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$ [/mm] partiell differenzierbar sein. Sei nun y als fester Parameter gewählt, also y=b Dann ist [mm] $f(x,b)=\sqrt[3]{xb}$ [/mm] und somit nach den Regeln der Differenziation für Abbildungen von [mm] $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [/mm] in allen Punkten mit x [mm] \neq [/mm] 0 differenzierbar. Also gilt: [mm] $D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}$. [/mm] Ist y=0 so ergibt sich: f(x,0)=0 und somit [mm] $D_{1}f(x,0)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Zusammengefasst also: [mm] \\ [/mm]
[mm] $D_{1}f(x,y)= \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0\\ 0 & y=0 \\ \end{cases} \\$ [/mm]
Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig [mm] analog:\\ [/mm]
[mm] $D_{2}f(x,y)= \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases} \\$ [/mm]

$(b)$
Die Funktion f ist dort total differenzierbar, an denen die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Diese existieren für alle x,y [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x\cdot [/mm] y>0 und sind in diesen Punkten auch stetig, da es sich bei [mm] $D_{1}f(x,y)$ [/mm] und [mm] $D_{2}f(x,y)$ [/mm] um rationale Funktionen handelt und diese für diese Menge definiert sind. An den Punkten mit  x=0 bzw.  y=0 sind die Funktionen nicht stetig, da [mm] $D_{1}f(x,0)=D_{2}f(0,y)=0$ [/mm]  aber [mm] $\lim\limits_{y \rightarrow 0}{f(D_{1}f(x,y))}= \lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(D_{2}f(x,y))}= \infty$ [/mm] Somit gilt: $f'(x,y)= ( [mm] \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})$ [/mm] für alle
$x,y [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x\cdot [/mm] y>0$ [mm] \\ [/mm]

$(c)$
Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung [mm] $v=\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$ [/mm] am Nullpunkt muss folgender Grenzwert existieren: [mm] \\ [/mm]
[mm] $\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{txy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{2}{3}}}$. [/mm] Für alle  x,y [mm] \neq [/mm] 0  strebt dieser Grenzwert offensichtlich gegen [mm] $\infty$. [/mm] Er existiert nur, falls x oder y gleich Null ist, da dann [mm] folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0 [/mm] $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen [mm] Ableitungen.\\ [/mm]

$(d)$
Es ist f in [mm] $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$ [/mm] stetig, da $ [mm] f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix})= [/mm] 0$ und für beliebige Folgen  [mm] x_{n}, y_{n} [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_{n}}=0$ [/mm] gilt: [mm] \\ [/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n},y_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[3]{x_{n} \cdot y_{n}}}=0 [/mm] $ Es ist f in [mm] $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$ [/mm] nicht differenzierbar, da wie unter (b) gezeigt die partiellen Ableitungen nicht stetig [mm] sind.\\ [/mm]


Vielen Dank für Korrekturen und Anmerkungen :)

        
Bezug
Ableitung Wurzelfunktion: Definition 3.Wurzel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Do 24.03.2016
Autor: reverend

Hallo Stala,

mal vorab eine Randnotiz zu möglichen Definitionen der 3. Wurzel:

> Es sei [mm]f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy}[/mm]
> definiert.
>  a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an
> allen Punkten [mm]\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>  
> b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für
> alle[mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>  
> c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung  für den Vektor
> [mm]v \in \mathbb{R}[/mm] im Punkt [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>  d) Ist f in
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] stetig und differenzierbar?
>  Ich tue mich mit der Diffenrenziation hier etwas schwer
> und das Ganze ist in meinem Skript so ohne gute Beispiele
> dargestellt, sodass ich gern einmal meine Lösung
> präsentieren würde. Ich bin mir vor allem für die
> Grenzbereiche mit x=0 bzw y=0 und entsprechend für den
> Punkt [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] sehr unsicher.

Das ist verständlich. Vielleicht ändert es sich, wenn Du eine andere Definition zugrundelegst.
  

> [mm](a)[/mm]
>  Nach der Definition der Wurzel  ist diese nur für
> positive Zahlen definiert.

Das stimmt.
Aber gerade bei ungeraden Wurzeln (im Reellen) verwenden viele eine erweiterte Definition. Ich habe Grund zu der Annahme, dass diese hier vorausgesetzt wird.
Das hätte dann allerdings m.E. in der Aufgabe mit angegeben sein müssen. Da das nicht der Fall ist, sind wir doch auf ein wenig Raten angewiesen - keine gute Situation in der Mathematik.

Häufig wird jedenfalls auch dies angenommen:
Sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x,r\in\IR [/mm] und [mm] r^{2n-1}=x [/mm]

Dann definieren wir [mm] \wurzel[2n-1]{x}=sgn{(x)}*\wurzel[2n-1]{|x|} [/mm]

Damit macht Deine Aufgabe jedenfalls mehr Sinn.
Beispiel: [mm] \wurzel[3]{-8}=sgn{(-8)}*\wurzel[3]{|-8|}=(-1)*2=-2 [/mm]

Grüße
reverend

> Also ist die Funktion f nur
> definiert für [mm]$\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}[/mm] [mm]mit[/mm][mm] a\cdot[/mm] b [mm]\geq[/mm] 0[mm] und somit kann f auch nur für diese[/mm][mm] \begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$[/mm]
> partiell differenzierbar sein. Sei nun y als fester
> Parameter gewählt, also y=b Dann ist [mm]$f(x,b)=\sqrt[3]{xb}$[/mm]
> und somit nach den Regeln der Differenziation für
> Abbildungen von [mm]$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$[/mm] in allen
> Punkten mit x [mm]\neq[/mm] 0 differenzierbar. Also gilt:
> [mm]$D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}$.[/mm]
> Ist y=0 so ergibt sich: f(x,0)=0 und somit [mm]$D_{1}f(x,0)=0$[/mm]
> für alle $x [mm]\in \mathbb{R}$.[/mm] Zusammengefasst also: [mm]\\[/mm]
>  [mm]$D_{1}f(x,y)= \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0\\ 0 & y=0 \\ \end{cases} \\$[/mm]
>  
> Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig
> [mm]analog:\\[/mm]
>  [mm]$D_{2}f(x,y)= \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases} \\$[/mm]
>  
> [mm](b)[/mm]
>  Die Funktion f ist dort total differenzierbar, an denen
> die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.
> Diese existieren für alle x,y [mm]\neq[/mm] 0, [mm]x\cdot[/mm] y>0 und sind
> in diesen Punkten auch stetig, da es sich bei [mm]D_{1}f(x,y)[/mm]
> und [mm]D_{2}f(x,y)[/mm] um rationale Funktionen handelt und diese
> für diese Menge definiert sind. An den Punkten mit  x=0
> bzw.  y=0 sind die Funktionen nicht stetig, da
> [mm]D_{1}f(x,0)=D_{2}f(0,y)=0[/mm]  aber [mm]\lim\limits_{y \rightarrow 0}{f(D_{1}f(x,y))}= \lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(D_{2}f(x,y))}= \infty[/mm]
> Somit gilt: [mm]f'(x,y)= ( \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})[/mm]
> für alle
> [mm]x,y \neq 0, x\cdot y>0[/mm] [mm]\\[/mm]
>  
> [mm](c)[/mm]
>  Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung
> [mm]$v=\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$[/mm] am Nullpunkt muss folgender
> Grenzwert existieren: [mm]\\[/mm]
>  [mm]$\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{txy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{2}{3}}}$.[/mm]
> Für alle  x,y [mm]\neq[/mm] 0  strebt dieser Grenzwert
> offensichtlich gegen [mm]$\infty$.[/mm] Er existiert nur, falls x
> oder y gleich Null ist, da dann [mm]folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0[/mm]
> $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die
> Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen
> [mm]Ableitungen.\\[/mm]
>  
> [mm](d)[/mm]
>  Es ist f in [mm]$\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}[/mm] [mm]stetig, da[/mm] [mm]f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix})=[/mm] 0$ und für beliebige Folgen  
> [mm]x_{n}, y_{n}[/mm] mit [mm]$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_{n}}=0$[/mm]
> gilt: [mm]\\[/mm]
>  [mm]$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n},y_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[3]{x_{n} \cdot y_{n}}}=0[/mm]
> $ Es ist f in [mm]$\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$[/mm] nicht differenzierbar, da wie
> unter (b) gezeigt die partiellen Ableitungen nicht stetig
> [mm]sind.\\[/mm]
>  
>
> Vielen Dank für Korrekturen und Anmerkungen :)


Bezug
                
Bezug
Ableitung Wurzelfunktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:48 Sa 26.03.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Es sei $ f: [mm] \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy} [/mm] $ definiert Es gelte: [mm] \wurzel[3]{xy}=sgn{(xy)}*\wurzel[3]{|xy|} [/mm]
a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an allen Punkten [mm] $\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$ [/mm]
b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für alle$ [mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$ [/mm]
c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung  für den Vektor $ v [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ im Punkt [mm] $\vektor{0 \\ 0}$ [/mm]
d) Ist f in [mm] $\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ stetig und differenzierbar?


Hallo reverend,

vielen Dank schon einmal für den Hinweis. Das macht Sinn, und vereinfacht das Ganze auch etwas, weil ich dann die Bedingung xy> 0 streichen kann. Wurde vielleicht auch schon einmal implizit im Skript genutzt, aber leider nie so exakt definiert.
Aber im Grundsatz müsste es doch bei dem bleiben, oder? Ich hab es mal in die Aufgabenstellung eingefügt.

a)Eigentlich muss ich den Fall y [mm] \neq [/mm] 0 gar nicht extra erwähnen, sodass man für diepartielle Abelitung findet:

[mm]D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}.[/mm]
  für alle x [mm] \neq [/mm] 0
  
Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig
analog:
  [mm]D_{2}f(x,y)= \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}}, \\ [/mm] für y [mm] \neq [/mm] 0

b) Die Funktion ist somit dort total differenzierbar, wenn x,y [mm] \neq [/mm] 0 , da dann die partiellen Ableitungen beide definiert und stetig sind als rationale Funktionen und es folgt:

[mm]f'(x,y)= ( \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})[/mm]
für alle x,y [mm] \neq [/mm] 0

c) Hier ändert sich dann ja nichts an meiner vorherigen Lösung, oder?
Mit einer Korrektur eines kleinen Fehlers:

>  Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung
> [mm]$v=\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$[/mm] am Nullpunkt muss folgender
> Grenzwert existieren: [mm]\\[/mm]
>  [mm]$\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{t^{2}xy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{1}{3}}}$.[/mm]
> Für alle  x,y [mm]\neq[/mm] 0  strebt dieser Grenzwert
> offensichtlich gegen [mm]$\infty$.[/mm] Er existiert nur, falls x
> oder y gleich Null ist, da dann [mm]folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0[/mm]
> $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die
> Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen
> [mm]Ableitungen.\\[/mm]

d) Un hier: Die Stetugkeit ist denke ich klar... f ist im Nullpunkt stetig.

und es existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt, allerdings ist die Funktion nicht total differenzierbar, da nicht alle Richtungsableitungen existieren, wie unter c) gezeigt.

Macht das so mehr Sinn?

VG


Bezug
                        
Bezug
Ableitung Wurzelfunktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 26.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]