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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Abschätzung mit Maßen
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Abschätzung mit Maßen: Korrektur, Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:26 Di 25.08.2015
Autor: qhalinaq

Aufgabe
Seien $f(x)$ und $g(x)$ zwei integrierbare Funktionen mit Wertebereich $[0,1]$ und [mm] $\nu$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] zwei Maße. [mm] \\ [/mm]
- Sei $C$ eine Menge für die ein [mm] $0<\epsilon<1/2$ [/mm] existiert, sodass [mm] $\inf_{x \in C}f(x) [/mm] > [mm] \sup_{x \in C}g(x)+\epsilon$ \\ [/mm]
- [mm] $\nu(x \in C)>q\in (0,1)$\\ [/mm]
- [mm] $|\lambda(x\in C)-\nu(x\in C)|\leq \frac{q\epsilon}{2}$.\\ [/mm]
Zu zeigen: [mm] $|\lambda(x\in C)\int_C \! [/mm] f(x) [mm] \; \lambda(\mathrm{d}x)-\nu(x\in C)\int_C \! [/mm] g(x) [mm] \; \nu(\mathrm{d}x)|>q\epsilon/4$. [/mm]



Danke für den Fehlerhinweis!

Ich komme leider nicht auf die untere Grenze von [mm] $q\epsilon/4$. [/mm] Vielleicht könnt ihr mir helfen?

Meine Überlegungen waren:
[mm] $\lambda(x\in C)\int_C \! [/mm] f(x) [mm] \; \lambda(\mathrm{d}x)-\nu(x\in C)\int_C \! [/mm] g(x) [mm] \; \nu(\mathrm{d}x)$\\ [/mm]
[mm] $\geq\lambda(x\in C)\inf_{x\in C} [/mm] f(x) [mm] \lambda(x\in C)-\nu(x\in C)\sup_{x \in C}g(x) \nu(x \in C)$\\ [/mm]
[mm] $>\lambda^2(x \in [/mm] C) [mm] (\sup_{x \in C} g(x)+\epsilon)-\nu^2(x\in [/mm] C) [mm] \sup_{x\in C}g(x)$\\ [/mm]
Aus dem dritten Punkt folgt [mm] $\nu(x \in [/mm] C)- [mm] q\epsilon [/mm] /2 [mm] \leq \lambda(x \in C)\leq \nu(x \in C)+q\epsilon/2$. Also:\\ [/mm]
[mm] $\geq (\nu-q\epsilon/2)^2(\sup g(x)+\epsilon)-\nu^2\sup g(x)$\\ [/mm]
[mm] $=(q^2\epsilon^2/4-\nu q\epsilon)\sup [/mm] g(x) + [mm] \nu^2\epsilon-\nu q\epsilon^2 +q^2\epsilon^3/4$\\ [/mm]
$> [mm] 0-\nu q\epsilon+q^2\epsilon-\nu q\epsilon^2+q^2\epsilon^3/4$ [/mm]


An der Stelle komme ich nicht weiter und ich habe auch gar nicht mit Beträgen gearbeitet, da ich nicht so ganz wusste wie...

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Danke im Voraus.

LG, Hanna

        
Bezug
Abschätzung mit Maßen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mi 26.08.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz und deine Aufgabenstellung widersprechen sich.
Du schreibst in der Aufgabe:

> Zu zeigen: [mm]|\nu_2(x\in C)\int_C \! f(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)-\nu_1(x\in C)\int_C \! g(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)|>q\epsilon/4[/mm].

Und beginnst mit:

> Meine Überlegungen waren:
>  [mm]\nu_2(x\in C)\int_C \! f(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)-\nu_1(x\in C)\int_C \! g(x) \; \nu_1(\mathrm{d}x)[/mm][mm] \\[/mm]

wie du erkennst, hast du bei deinem Ansatz die Indizes in den Maßen vertauscht, insbesondere beim hinteren Integral. Was stimmt nun: Die Aufgabenstellung oder dein Ansatz? Verwende statt [mm] \nu_1 [/mm] und [mm] \nu_2 [/mm] doch einfach [mm] \nu [/mm] und [mm] $\mu$, [/mm] dann passiert das nicht :-)

Korrigiere das, dann kann man dir auch helfen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Abschätzung mit Maßen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Do 27.08.2015
Autor: qhalinaq

Danke für den Hinweis und ich habe meine Ausführungen jetzt korrigiert. Dabei ist mir auch ein falscher Schluss bei den Abschätzungen aufgefallen, jetzt komme ich sogar noch weniger weit :D

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung mit Maßen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Fr 28.08.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Aussage wie sie da steht ist trotzdem irgendwie falsch und auch irgendwie nicht eindeutig.
Alles steht und fällt mit der Wahl von q. Wie ist q denn zu wählen, es kann ja sein, dass es mehrere q's gibt, so dass die beiden Bedingungen

- $ [mm] \nu(x \in C)>q\in [/mm] (0,1) $$ [mm] \\ [/mm] $
- $ [mm] |\lambda(x\in C)-\nu(x\in C)|\leq \frac{q\epsilon}{2} [/mm] $$ [mm] .\\ [/mm] $

erfüllt sind.
Wenn das für alle q gelten soll, die diese Aussagen erfüllen, so ist die Aussage falsch, wie man sofort mit

[mm] $\lambda [/mm] = [mm] \nu$ [/mm]
[mm] $f\equiv 2\varepsilon, g\equiv [/mm] 0$

nachrechnen kann.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Abschätzung mit Maßen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Sa 29.08.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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