Abschluß/ Folge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 29.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, [mm] $\emptyset\neq A\subseteq [/mm] X$.
Zeigen Sie:
[mm] $x\in\overline{A}$ [/mm] gilt genau dann, wenn es eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] in $A$ gibt, die gegen $x$ konvergiert. |
Moin!
Ich hab' die Rück-Richtung (glaube ich) hinbekommen:
Es sei [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] eine Folge in $A$ mit [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}\to [/mm] x$. Das heißt für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N(\varepsilon)\in\mathbb [/mm] N$, sodaß [mm] $d(x_n,x)<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq N(\varepsilon)$.
[/mm]
x ist innerer Punkt von A, wenn A Umgebung von x ist, also eine offene Kugel um x enthält. Da nach Voraussetzung alle [mm] $x_n\in [/mm] A$, liegt ja aber jede Epsilon-Kugel um x, die die [mm] $x_n$ [/mm] für [mm] $n\geq N(\varepsilon)$ [/mm] umfasst, in A (diese Folgenglieder liegen ja in einer Epsilonkugel um x und sind in A). Also ist x innerer Punkt von A, also im Abschluss von A (der ja Vereinigung der inneren Punkte mit den Randpunkten ist).
Korrekt?
Aber die Hin-Richtung macht mir leider Probleme...
Hat jemand einen Tipp, wie man das beweisen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 29.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum, [mm]\emptyset\neq A\subseteq X[/mm].
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]x\in\overline{A}[/mm] gilt genau dann, wenn es eine Folge
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] in [mm]A[/mm] gibt, die gegen [mm]x[/mm] konvergiert.
> Moin!
>
> Ich hab' die Rück-Richtung (glaube ich) hinbekommen:
>
> Es sei [mm](x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge in [mm]A[/mm] mit
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb N}\to x[/mm]. Das heißt für alle
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]N(\varepsilon)\in\mathbb N[/mm],
> sodaß [mm]d(x_n,x)<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\geq N(\varepsilon)[/mm].
>
> x ist innerer Punkt von A, wenn A Umgebung von x ist, also
> eine offene Kugel um x enthält. Da nach Voraussetzung alle
> [mm]x_n\in A[/mm], liegt ja aber jede Epsilon-Kugel um x, die die
> [mm]x_n[/mm] für [mm]n\geq N(\varepsilon)[/mm] umfasst, in A
Wieso das denn ???
> (diese
> Folgenglieder liegen ja in einer Epsilonkugel um x und sind
> in A). Also ist x innerer Punkt von A,
Nein, das muß nicht zutreffen
> also im Abschluss
> von A (der ja Vereinigung der inneren Punkte mit den
> Randpunkten ist).
>
>
> Korrekt?
Nein.
Rüchrichtung:
Fall 1: x ist innerer Punkt von A. Dann sind wir fertig
Fall 2: x ist kein innerer Punkt von A
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Es existiert ein $ [mm] N(\varepsilon)\in\mathbb [/mm] N $, sodaß $ [mm] d(x_n,x)<\varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] n\geq N(\varepsilon) [/mm] $.
Dann ist [mm] x_n [/mm] in [mm] K_{\varepsilon}(x) [/mm] für alle $ [mm] n\geq N(\varepsilon) [/mm] $.
[mm] (K_{\varepsilon}(x) [/mm] = Kugel um x mit radius [mm] \varepsilon)
[/mm]
Also ist
(1) [mm] K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A [mm] \ne \emptyset
[/mm]
Wäre nun [mm] K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] (X \ A ) = [mm] \emptyset, [/mm] so hätten wir [mm] K_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A. Damit wäre x innerer Punkt von A, Widerspruch ! Also:
(2) [mm] K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] (X \ A ) [mm] \ne \emptyset,
[/mm]
Da [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig war, folgt aus (1) und (2), dass x Randpunkt von A ist.
>
>
> Aber die Hin-Richtung macht mir leider Probleme...
> Hat jemand einen Tipp, wie man das beweisen kann?
Fall 1: x ist innerer Punkt von A. Wähle [mm] x_n [/mm] =x für jedes n.
Fall 2: x ist Randpunkt von A. zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ex. also ein [mm] x_{\varepsilon} \in K_{\varepsilon}(x) \cup [/mm] A.
Edit: es muß natürlich lauten: [mm] x_{\varepsilon} \in K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A.
Wähle der Reihe nach [mm] \varepsilon=1, \varepsilon=1/2, \varepsilon=1/3, [/mm] ....
So erhältst Du eine Folge mit der gewünschten Eigenschaft.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Mi 29.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das habe ich verstanden, ich danke Dir sehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 29.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich verstanden,
Bist Du sicher ? Wenn Ja, so hätte Dir ein Schreibfehler von mir auffallen müssen !
> ich danke Dir sehr.
Gern geschehen
Noch was: die Bez. "Hin-Richtung" finde ich Schei...e
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 29.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ja, habe ich wirklich verstanden, den Schreibfehler hatte ich aber in der Tat übersehen.
Wenn x Randpunkt von A ist, bedeutet das ja, daß jede Umgebung um x einen nicht leeren Schnitt mit A und mit [mm] $X\setminus [/mm] A$ hat. Wähle also eine Epsilon-Kugel um x, sodaß x in dieser Kugel und in A ist. DAnn lasse die Radien gegen 0 streben. und wähle jeweils ein Folgenglied aus den kleiner werdenden Kugeln. Dann liegen die Folgenglieder alle in A und die Folge strebt gegen x.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 29.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Was könnte man denn statt "Hin-Richtung" sagen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 18.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
ist zwar schon etwas her, aber jetzt beim wiederlesen ist mir die rückrichtung nicht mehr so klar.
ich muss doch zeigen, daß x innerer punkt oder randpunjt ist.
wieso kann man dann einfach sagen:
es gibt eine folge in X die gegen x konvergiert.
ist x innerer punkt, ist man fertig
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 19.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dennis,
> ich muss doch zeigen, daß x innerer punkt oder randpunjt
> ist.
Genau.
> wieso kann man dann einfach sagen:
> es gibt eine folge in X die gegen x konvergiert.
Nach Voraussetzung der Rückrichtung gibt es eine Folge von Elementen [mm] $x_n\in [/mm] A$, die gegen x konvergiert.
> ist x innerer punkt, ist man fertig
Wir wollten doch zeigen, dass x innerer Punkt oder Randpunkt von A ist.
Viele Grüße
Tobias
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