matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenAbsolute Konvergenz Reihen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Absolute Konvergenz Reihen
Absolute Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Absolute Konvergenz Reihen: Tipp absolute Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] absolut konvergiert.

Hallo ich bin soweit gekommen geht das?

[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} |\bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}| [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}. [/mm] Reicht es ab hier mit dem Quotientenkriterium weiter zu machen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mo 07.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Piba und herzlich [willkommenmr],

> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{\red{i=0}}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm]

Aufpassen! Hier und im Weiteren muss der Summationsindex natürlich [mm]\red n[/mm] sein ...

> absolut konvergiert.
> Hallo ich bin soweit gekommen geht das?

>

> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} |\bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}|[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}.[/mm] Reicht es ab
> hier mit dem Quotientenkriterium weiter zu machen?

Ja, das kannst du machen - oder du verwendest direkt ein Konvergenzkriterium für Potenzreihen, denn deine gegebene Reihe ist ja eine Potenzreihe

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Danke für die schnelle Antwort und den Hinweis zu dem Laufindex, muss natürlich mit $n = 0$ beginnen.

Reicht das auch hier einfach nur mit der Konvergenz für Potenzreihen zu argumentieren, also zu sagen [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}$ [/mm] konvergiert da Potenzreihe,

oder muss ich [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}$ [/mm] auch auf die Form: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}$ [/mm] bringen?

Ich bin mir oft unsicher ab wann man aufhören kann, und einfach sagen kann "Es konvergiert jetzt".

Bezug
                        
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Mo 07.12.2015
Autor: fred97


> Danke für die schnelle Antwort und den Hinweis zu dem
> Laufindex, muss natürlich mit [mm]n = 0[/mm] beginnen.
>  
> Reicht das auch hier einfach nur mit der Konvergenz für
> Potenzreihen zu argumentieren, also zu sagen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}[/mm] konvergiert da
> Potenzreihe,

Natürlich reicht das nicht ! Eine Potenzreihe muss nicht in jedem x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren !!


>  
> oder muss ich [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}[/mm]
> auch auf die Form: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
> bringen?

Das wird Dir nicht gelingen !

Bestimme mit dem Quotientenkriterium alle x für die

  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!} [/mm]

absolut konvergiert

FRED

>  
> Ich bin mir oft unsicher ab wann man aufhören kann, und
> einfach sagen kann "Es konvergiert jetzt".


Bezug
                                
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Ok, das bringt mich schon mal weiter. Ich habe mit dem Quotientenkriterium folgendes rausbekommen:

[mm] $\bruch{\bruch{x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}}{\bruch{x^{4n}}{(5n)!}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4n+4}*(5n)!}{(5n+5)!*x^{4n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4n}*x^4*(5n)!}{(5n+5)!*x^{4n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^4*(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] ab hier bin ich mir unsicher mit dem ausklammern der Fakultät. Ich würde tippen aus dem Ausdruck [mm] $\bruch{x^4*(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] den zu machen: [mm] $\bruch{x^4}{(5n+5)}$ [/mm] aber ich glaube im Nenner fehlt was.

Bezug
                                        
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Definition anwenden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mo 07.12.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Piba!


Wende die Definition der Fakultät an.

Damit gilt:

$(5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)$


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mo 07.12.2015
Autor: Piba


> Hallo Piba!
>  
>
> Wende die Definition der Fakultät an.
>  
> Damit gilt:
>  
> [mm](5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)[/mm]
>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner

Das macht Sinn, danke.

Wenn ich nun mit [mm] $\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] weiter rechne bekomme ich: $ [mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!} [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)} [/mm] < q < 1  [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] $ konvergiert absolut.

Bezug
                                                        
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mo 07.12.2015
Autor: fred97


> > Hallo Piba!
>  >  
> >
> > Wende die Definition der Fakultät an.
>  >  
> > Damit gilt:
>  >  
> > [mm](5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)[/mm]
>  >

>  
> >
> > Gruß vom
>  >  Roadrunner
>
> Das macht Sinn, danke.
>  
> Wenn ich nun mit [mm]\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}[/mm] weiter
> rechne bekomme ich: [mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!} [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)} [/mm] < q < 1  [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]

Ob das <q<1 für alle n ist, hängt doch noch gewaltig von x ab !!!

Aber es gilt: ist x [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] (\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}) [/mm] eine Nullfolge. Damit gibt es ein N=N(x) [mm] \in \IN [/mm] mit

    [mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}<\bruch{1}{2} [/mm]  für alle n>N(x).


Somit ist  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] absolut konvergent.

FRED


> [mm] \Rightarrow \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] [/mm]
> konvergiert absolut.


Bezug
                                                                
Bezug
Absolute Konvergenz Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Ich bedanken mich bei euch für die Hilfe. Jetzt ist so einiges ersichtlicher geworden. [happy]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]