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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Abstand Hyperebene und Punkt
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Abstand Hyperebene und Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Di 01.07.2014
Autor: Skippy05

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Gegeben sei die Ebene
H:=$\vektor{3\\5\\7}+<\vektor{1\\1\\2},\vektor{3\\1\\1}>$
Bestimmen Sie den Abstand von H zum Punkt (1,2,3).

Hallo alle Lieben,

Kann mir bitte jmd. sagen ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe.
Danke!

$\vec X=\vektor{3\\5\\7}+r\vektor{1\\1\\2}+s\vektor{3\\1\\1}$

x=3+r+3s
y=5+r+s      
z=7+2r+s

$\pmat{3&1&3\\5&1&1\\7&2&1}$ $\Rightarrow$ nach Gauss in die Stufenform gebracht $\pmat{3&1&3 \\0&1&-6\\0&0&1}$
Dann haben wir:
x=3+r+3s
y=r-6s
z=s

x-y+3z=3

E:=x-y+3z-3=0
Punkt(1,2,3)

$\vec n =\vektor{1\\-1\\3}$
|$\vec n$|=$\wurzel{1^{2}+(-1)^{2}+3^{2}$=$\wurzel{11}$=3,317

d=$\bruch{1*1-1*2+3*3-3}{3,317}$=1,507

        
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Abstand Hyperebene und Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Di 01.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

obiges ist völlig falsch. Im wesentlichen liegt das an einer abenteuerlichen Art, ein 3x5-LGS mit einer 3x3-Matrix per Gauß-Verfahren zu lösen.

Probiere einfach mal, durch Addition die Parameter r und s zu eliminieren. Zur Kontrolle: der Normalenvektor sollte ein Vielfaches von [mm] (1,-5,2)^T [/mm] sein.


Gruß, Diophant

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Abstand Hyperebene und Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Di 01.07.2014
Autor: Skippy05

Danke für deinen Tipp, habe ich jetzt auch x-5y+2z=8 raus.

Ich habe es zuerst durch eliminieren versucht, dann habe ich gelesen dass man auch zu ZSF bringen kann und dann weiter halt sowie ich oben gemacht habe. Oder über Kreuzprodukt ausrechnen.
Ist das dann falsch, ich verstehe nicht so ganz warum du sagst das die Matrix 3x5 ist? Heisst es ich muss (x,y,z) sowie auch Punkt (1,2,3) auch in die Matrix rein schreiben? Kannst du mir bitte das erklären.
Mit dem Kreuzprodukt zwischen (1,1,2) und (3,1,1) habe ich auch versucht kommt bei mir aber anderer Vektor raus. (-1,-5,-2)
Geht es überhaupt mit dem Kreuzprodukt?

Ok jetzt aber weiter..
Ich habe jetzt weiter gerechnet nur mit x-5y+2z=8 und komme zum Ergebnis, der Abstand ist gleich  d=2
Ist das richtig?

Vielen Dank nochmals








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Abstand Hyperebene und Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Mi 02.07.2014
Autor: Fulla

Hallo Skippy!

> Danke für deinen Tipp, habe ich jetzt auch x-5y+2z=8
> raus.

Fast. Der Normalenvektor stimmt, an der "8" musst du noch ein bisschen feilen.
Wenn du den Aufpunkt [mm]\vektor{3\\5\\7}[/mm] einsetzt, muss die Gleichung eine wahre Aussage liefern. Deine Ebenengleichung liefert aber -8=8.

> Ich habe es zuerst durch eliminieren versucht, dann habe
> ich gelesen dass man auch zu ZSF bringen kann und dann
> weiter halt sowie ich oben gemacht habe. Oder über
> Kreuzprodukt ausrechnen.
> Ist das dann falsch, ich verstehe nicht so ganz warum du
> sagst das die Matrix 3x5 ist? Heisst es ich muss (x,y,z)
> sowie auch Punkt (1,2,3) auch in die Matrix rein schreiben?
> Kannst du mir bitte das erklären.

Das war bestimmt nur ein Tippfehler. Ich denke Diophant hat "3x3-Matrix" gemeint.

> Mit dem Kreuzprodukt zwischen (1,1,2) und (3,1,1) habe ich
> auch versucht kommt bei mir aber anderer Vektor raus.
> (-1,-5,-2)
> Geht es überhaupt mit dem Kreuzprodukt?

Ja, wenn man es richtig berechnet. Es ist [mm]\vektor{1\\1\\2}\times\vektor{3\\1\\1}=\vektor{-1\\5\\-2}[/mm].

> Ok jetzt aber weiter..
> Ich habe jetzt weiter gerechnet nur mit x-5y+2z=8 und
> komme zum Ergebnis, der Abstand ist gleich d=2
> Ist das richtig?

Nein, das mag aber an der falschen Ebenengleichung liegen... Zeige am besten deine Rechnung (oder Teile davon), so können wir besser sehen, wo der Fehler liegt.
(Ich komme auf [mm]d=\frac{5}{\sqrt{30}}[/mm])


Lieben Gruß,
Fulla

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Abstand Hyperebene und Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 Mi 02.07.2014
Autor: Skippy05


> Fast. Der Normalenvektor stimmt, an der "8" musst du noch
> ein bisschen feilen.
>  Wenn du den Aufpunkt [mm]\vektor{3\\5\\7}[/mm] einsetzt, muss die
> Gleichung eine wahre Aussage liefern. Deine Ebenengleichung
> liefert aber -8=8.

Oh Danke ich habe beim Überschreiben nicht aufgepasst!

> > Ich habe es zuerst durch eliminieren versucht, dann habe
>  > ich gelesen dass man auch zu ZSF bringen kann und dann

>  > weiter halt sowie ich oben gemacht habe. Oder über

>  > Kreuzprodukt ausrechnen.

>  > Ist das dann falsch, ich verstehe nicht so ganz warum

> du
>  > sagst das die Matrix 3x5 ist? Heisst es ich muss

> (x,y,z)
>  > sowie auch Punkt (1,2,3) auch in die Matrix rein

> schreiben?
>  > Kannst du mir bitte das erklären.

>  
> Das war bestimmt nur ein Tippfehler. Ich denke Diophant hat
> "3x3-Matrix" gemeint.
>  
> > Mit dem Kreuzprodukt zwischen (1,1,2) und (3,1,1) habe ich
>  > auch versucht kommt bei mir aber anderer Vektor raus.

>  > (-1,-5,-2)

>  > Geht es überhaupt mit dem Kreuzprodukt?

>  
> Ja, wenn man es richtig berechnet. Es ist
> [mm]\vektor{1\\1\\2}\times\vektor{3\\1\\1}=\vektor{-1\\5\\-2}[/mm].

Ich habe das hier irgendwie falsch einstudiert, und jetzt habe ich meinen Fehler gefunden.
Herzlichen Dank!

>  
> > Ok jetzt aber weiter..
>  > Ich habe jetzt weiter gerechnet nur mit x-5y+2z=8 und

>  > komme zum Ergebnis, der Abstand ist gleich d=2

>  > Ist das richtig?

>  
> Nein, das mag aber an der falschen Ebenengleichung
> liegen... Zeige am besten deine Rechnung (oder Teile
> davon), so können wir besser sehen, wo der Fehler liegt.
>  (Ich komme auf [mm]d=\frac{5}{\sqrt{30}}[/mm])
>  

Ok
Mein Fehler liegt bestimmt noch am 8=-8 Geschichte.
Ich habe nämlich bei d auch +8 gerechnet. Also 1*1-5*2+2*3-8, was also falsch ist.
Muss mehr aufpassen bei Übertragungen.

DANKE!!!

> Lieben Gruß,
>  Fulla


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Bezug
Abstand Hyperebene und Punkt: Kein Tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Mi 02.07.2014
Autor: Diophant

Moin,

> > Ist das dann falsch, ich verstehe nicht so ganz warum
> du
> > sagst das die Matrix 3x5 ist? Heisst es ich muss
> (x,y,z)
> > sowie auch Punkt (1,2,3) auch in die Matrix rein
> schreiben?
> > Kannst du mir bitte das erklären.

>

> Das war bestimmt nur ein Tippfehler. Ich denke Diophant hat
> "3x3-Matrix" gemeint.

Ich habe auch 3x3-Matrix geschrieben. Das ändert nichts an der Tatsache, dass die Parameterform einer Ebene zunächst einmal ein LGS ist bestehend aus drei Gleichungen und fünf Unbekannten: den drei Koordinatenachsenvariablen genauso wie den beiden Parametern. Man bekommt das sicherlich irgendwie auch mit Gauß in den Griff, aber einen rechten Sinn sehe ich nicht darinr, vor allem dann nicht, wenn wie hier das Kreuzprodukt als Alternative zur Verfügung steht.

Es war also durchaus kein Tippfehler (im Gegensatz zu den anderen, die da tatsächlich drin waren ). :-)


Gruß, Diophant

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Bezug
Abstand Hyperebene und Punkt: mit Gauß
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:18 Mi 02.07.2014
Autor: angela.h.b.


> Man bekommt das sicherlich
> irgendwie auch mit Gauß in den Griff,

Hallo,

ich möchte das mal für Skippy vormachen, damit sie sieht, wie das  funktionieren kann:

wir haben die Parameterdarstellung von E

[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3\\5\\7}+r\vektor{1\\1\\2}+s\vektor{3\\1\\1}. [/mm]

Es sollen nun die Parameter r und s eliminiert werden, um die Koordinatenform der Ebenengleichung zu bekommen.

Obige Gleichung ist äquivalent zu

[mm] r\vektor{1\\1\\2}+s\vektor{3\\1\\1}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{3\\5\\7}= \vektor{x_1-3\\x_2-5\\x_3-7}. [/mm]

In eine Matrix gepackt:

[mm] \pmat{1&3&\parallel&x_1-3\\1&1&\parallel&x_2-5\\2&1&\parallel&x_3-7} [/mm]

Gauß --> ... --> [mm] \pmat{1&3&\parallel&x_1-3\\0&-2&\parallel&x_2-x_1-2\\0&0&\parallel&x_1-5x_2+2x_3+8}. [/mm]

Also hat man [mm] 0=x_1-5x_2+2x_3+8, [/mm] womit Du Deine Ebenengleichung hast.

Kreuzprodukt geht sicher fixer.


LG Angela

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Bezug
Abstand Hyperebene und Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mi 02.07.2014
Autor: Skippy05

Hallo Angela!!!

Ich Danke dir für deinen Beispiel mit dem Gauss.

Es ist sehr interessant wie du das umgeformt hast, sowas habe ich noch nicht gesehen.

Ich habe es nachgerechnet und für mich übernommen! DANKE:-)


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Bezug
Abstand Hyperebene und Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Mi 02.07.2014
Autor: Skippy05

Mahlzeit,

du hast Recht ich habe heute noch mal nach Gauss ausgerechnet, das war tatsächlich 3x5, und ich habe auch jetzt verstanden warum.
Das ist richtig das es am einfachsten ist über das Kreuzprodukt zu rechnen, zeitersparend.
Ich wollte nur die Zusammenhänge zwischen 3 Varianten verstehen.

Danke nochmals!


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