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Abzählbares: Alte Klausuraufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 15.02.2015
Autor: kreis

Aufgabe 1
Wie viele Möglichkeiten gibt es 7 unterschiedlich schwere Aufgaben auf 4 Mitarbeiter zu verteilen, wobei der erfahrenste Kollege mindestens die schwierigste Aufgabe und der Neuling mindestens die leichteste Aufgabe bekommt. Ansonsten gibt es keine Restriktionen, wie im richtigen Leben machen manche vielleicht auch gar nichts. Begründung!

Aufgabe 2
Sie betreuen die Mathe Vorlesung und müssen 300 Studenten (nicht unterscheidbar) auf 10 Tutorien verteilen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn das erste Tutorium mindestens 5 Teilnehmer haben soll und die anderen auch leer sein können?

1.
Da zwei Arbeiten fest sind entpsprcht es ja der Verteilung von 5 arbeiten auf 4 Mitarbeiter. Also genau der auswahl von drei Trennstücken (zwischen den Mitarbeitern) aus 5+3 Stücken. Somit gibt es [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] möglichkeiten oder?

2.
Hier habe ich die Lösung [mm] \vektor{300+10-5 \\ 10-1} [/mm] verstehe aber nicht wie man darauf kommt.
Meine überlegung war das ich erstmal die Möglcihkeiten berechne die Dreihundert Studenten in dem einem Tutorium verteilen. also [mm] \vektor{300 \\ 5} [/mm] nun habe ich ja noch 295 Studenten übrig und kann sie auf die gesamten 10 Tutorien verteilen. Also [mm] \vektor{304 \\ 9} [/mm] und diese dann multipliziert.
Stimmt jedoch nicht nach der Lösung. :(
Danke dür eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abzählbares: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 15.02.2015
Autor: rmix22


> Wie viele Möglichkeiten gibt es 7 unterschiedlich schwere
> Aufgaben auf 4 Mitarbeiter zu verteilen, wobei der
> erfahrenste Kollege mindestens die schwierigste Aufgabe und
> der Neuling mindestens die leichteste Aufgabe bekommt.
> Ansonsten gibt es keine Restriktionen, wie im richtigen
> Leben machen manche vielleicht auch gar nichts.
> Begründung!
>  Sie betreuen die Mathe Vorlesung und müssen 300 Studenten
> (nicht unterscheidbar) auf 10 Tutorien verteilen. Wieviele
> Möglichkeiten gibt es dafür, wenn das erste Tutorium
> mindestens 5 Teilnehmer haben soll und die anderen auch
> leer sein können?
>  1.
> Da zwei Arbeiten fest sind entpsprcht es ja der Verteilung
> von 5 arbeiten auf 4 Mitarbeiter.

Ja, so seh ich das auch.

> Also genau der auswahl von drei Trennstücken (zwischen den Mitarbeitern) aus 5+3  Stücken. Somit gibt es [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm] möglichkeiten
> oder?

Seh' ich anders. Da sowohl die fünf Arbeiten als auch die vier Mitarbeiter unterscheidbar sind, geht es nicht nur um eine Zerlegung der Menge von fünf Arbeiten in vier Teilmengen sondern zusätzlich auch um eine Zuordnung dieser Teilmengen auf die vier Arbeiter. Wenn du bei der Zerlegung aber zB zweimal die Leere Menge hast, sind diese beiden natürlich nicht unterscheidbar. Das mach die Weiterverfolgung dieses Ansatzes eher schwierig.
Einfacher ist es, wenn du ganz simpel die fünf Arbeiten der Reihe nach auf die fünf vier Arbeiter verteilst. Für die erste Arbeit hast du da vier Möglichkeiten - für die zweite ebenfalls, etc. Also kommst du auf [mm] $4^5$ [/mm] Gesamtmöglichkeiten.

>  
> 2.
> Hier habe ich die Lösung [mm]\vektor{300+10-5 \\ 10-1}[/mm]
> verstehe aber nicht wie man darauf kommt.

Das ist mir leider auch nich klar.

>  Meine überlegung war das ich erstmal die Möglcihkeiten
> berechne die Dreihundert Studenten in dem einem Tutorium
> verteilen. also [mm]\vektor{300 \\ 5}[/mm]

Nein - die Studenten sind ja nicht unterscheidbar. Du berechnest die Anzahl der Möglichkeiten, aus 300 unterscheidbaren Studenten fünf zu wählen.
>nun habe ich ja noch 295

> Studenten übrig und kann sie auf die gesamten 10 Tutorien
> verteilen. Also [mm]\vektor{304 \\ 9}[/mm] und diese dann
> multipliziert.

Da du die Wahl der fünf Studenten nicht berücksichtigen musst (ununterscheidbar) wäre m.E.  [mm]\vektor{304 \\ 9}[/mm] bereits die Gesamtlösung und nicht  [mm]\vektor{305 \\ 9}[/mm] wie von dir als vorgegebene Lösung angegeben.
Ich schätze da fehlt in der Musterlösung "oben" einfach das $-1$.

Gruß Rmix


Bezug
                
Bezug
Abzählbares: 2 Hinweise
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 So 15.02.2015
Autor: statler


> > Wie viele Möglichkeiten gibt es 7 unterschiedlich schwere
> > Aufgaben auf 4 Mitarbeiter zu verteilen, wobei der
> > erfahrenste Kollege mindestens die schwierigste Aufgabe und
> > der Neuling mindestens die leichteste Aufgabe bekommt.
> > Ansonsten gibt es keine Restriktionen, wie im richtigen
> > Leben machen manche vielleicht auch gar nichts.
> > Begründung!
>  >  Sie betreuen die Mathe Vorlesung und müssen 300
> Studenten
> > (nicht unterscheidbar) auf 10 Tutorien verteilen. Wieviele
> > Möglichkeiten gibt es dafür, wenn das erste Tutorium
> > mindestens 5 Teilnehmer haben soll und die anderen auch
> > leer sein können?
>  >  1.
> > Da zwei Arbeiten fest sind entpsprcht es ja der Verteilung
> > von 5 arbeiten auf 4 Mitarbeiter.
>  Ja, so seh ich das auch.
>  > Also genau der auswahl von drei Trennstücken (zwischen

> den Mitarbeitern) aus 5+3  Stücken. Somit gibt es
> [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm] möglichkeiten
> > oder?
>  Seh' ich anders. Da sowohl die fünf Arbeiten als auch die
> vier Mitarbeiter unterscheidbar sind, geht es nicht nur um
> eine Zerlegung der Menge von fünf Arbeiten in vier
> Teilmengen sondern zusätzlich auch um eine Zuordnung
> dieser Teilmengen auf die vier Arbeiter. Wenn du bei der
> Zerlegung aber zB zweimal die Leere Menge hast, sind diese
> beiden natürlich nicht unterscheidbar. Das mach die
> Weiterverfolgung dieses Ansatzes eher schwierig.
>  Einfacher ist es, wenn du ganz simpel die fünf Arbeiten
> der Reihe nach auf die fünf vier Arbeiter verteilst. Für die
> erste Arbeit hast du da vier Möglichkeiten - für die
> zweite ebenfalls, etc. Also kommst du auf [mm]4^5[/mm]
> Gesamtmöglichkeiten.
>  >  
> > 2.
> > Hier habe ich die Lösung [mm]\vektor{300+10-5 \\ 10-1}[/mm]
> > verstehe aber nicht wie man darauf kommt.
>  Das ist mir leider auch nich klar.
>  >  Meine überlegung war das ich erstmal die
> Möglcihkeiten
> > berechne die Dreihundert Studenten in dem einem Tutorium
> > verteilen. also [mm]\vektor{300 \\ 5}[/mm]
> Nein - die Studenten sind ja nicht unterscheidbar. Du
> berechnest die Anzahl der Möglichkeiten, aus 300
> unterscheidbaren Studenten fünf zu wählen.
>  >nun habe ich ja noch 295
> > Studenten übrig und kann sie auf die gesamten 10 Tutorien
> > verteilen. Also [mm]\vektor{304 \\ 9}[/mm] und diese dann
> > multipliziert.
>  Da du die Wahl der fünf Studenten nicht berücksichtigen
> musst (ununterscheidbar) wäre m.E.  [mm]\vektor{304 \\ 9}[/mm]
> bereits die Gesamtlösung und nicht  [mm]\vektor{305 \\ 9}[/mm] wie
> von dir als vorgegebene Lösung angegeben.
>  Ich schätze da fehlt in der Musterlösung "oben" einfach
> das [mm]-1[/mm].

Vielleicht wäre es konsistenter, die Lösung als [mm]\vektor{295+10-1 \\ 10-1}[/mm] zu schreiben.

>  
> Gruß Rmix

Auch Gruß Dieter

Bezug
                        
Bezug
Abzählbares: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 So 15.02.2015
Autor: rmix22


> > der Reihe nach auf die fünf vier Arbeiter verteilst.

Danke fürs Ausbessern. Natürlich sind es nur vier Arbeiter,

>  Vielleicht wäre es konsistenter, die Lösung als
> [mm]\vektor{295+10-1 \\ 10-1}[/mm] zu schreiben.

Oder entsprechend der Definition
   [mm] $\vektor{ \vektor{n \\ k}}=\vektor{k+n-1\\k}=\vektor{k+n-1 \\n-1}=\br{(k+n-1)!}{k!*(n-1)!}$ [/mm]
gleich
   [mm] $\vektor{ \vektor{10 \\ (300-5)}}=\vektor{(300-5)+10-1\\(300-5)}=\vektor{(300-5)+10-1 \\10-1}=\br{304!}{9!*295!}=54222992899492560\approx5,4*10^{16}$. [/mm]
Wie auch immer - es gibt eine Diskrepanz zwischen dieser Lösung und der angeblichen Musterlösung.

Bezug
                                
Bezug
Abzählbares: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 Mo 16.02.2015
Autor: kreis

Danke für eure Hilfe.
So langsam verstehe ich glaub ich das ganze.

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