matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMengenlehreAbzählbarkeit
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Mengenlehre" - Abzählbarkeit
Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abzählbarkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Do 01.02.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen abzählbar ist.


Hallo,
Diophant ich glaube ich hab es verstanden.
Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung benennen die Bijektiv ist.

Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift $2n-1$ welche ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Danach kam ich auf diese:
Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
$f: M [mm] \to \IN [/mm] , n [mm] \mapsto \bruch{n+1}{2}$ [/mm]

Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes Element aus M kann man nur eines aus [mm] \IN [/mm] zuordnen und es wird auch jedes in [mm] \IN [/mm] getroffen.

Gruß LeFlair

        
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Do 01.02.2018
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen
> Zahlen abzählbar ist.
>  
> Hallo,
> Diophant ich glaube ich hab es verstanden.

Hallo Flair,

ich bins, der Fred


>  Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung
> benennen die Bijektiv ist.
>  
> Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift [mm]2n-1[/mm] welche
> ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv,
> aber nicht surjektiv ist.

Wenn du,  wie  du es unten getan hast, die Menge der ungeraden Zahlen mit M bezeichnest,

so ist obige Vorschrift eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf M.

>  
> Danach kam ich auf diese:
>  Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
>  [mm]f: M \to \IN , n \mapsto \bruch{n+1}{2}[/mm]

Das passt.  Dieses f ist die Umkehrfunktion Deiner obigen Vorschrift.

>  
> Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes
> Element aus M kann man nur eines aus [mm]\IN[/mm] zuordnen und es
> wird auch jedes in [mm]\IN[/mm] getroffen.
>  
> Gruß LeFlair


Bezug
        
Bezug
Abzählbarkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair


Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu verbessern falls nötig.
Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
[mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]

f sei Injektiv, wenn gilt
[mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
Sei [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2} \Rightarrow x+1 = y+1 \Rightarrow x = y[/mm] erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?

f sei surjektiv, wenn gilt:
[mm]f(x) = y[/mm]
[mm] \textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]

[mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]
setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
[mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]
somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!

Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare [/mm]

Gruß,
LeFlair

Bezug
                
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher
> bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu
> verbessern falls nötig.

Auch an deinen sprachlichen Ausformulierungen solltest du noch arbeiten.

> Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
> [mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]

>

> f sei Injektiv,

was heißt 'sei'? f ist injektiv, wenn folgendes gilt:

> [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
> Sei [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2} \Rightarrow x+1 = y+1 \Rightarrow x = y[/mm]
> erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
> Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?

Unter 'trivial' versteht man etwas völlig anders*. Was du da kommentarlos gemacht hast ist absolut nachvollziehbar und damit in Ordnung.

> f sei surjektiv, wenn gilt:

Sprachlich der leiche Einwand wie oben.

> [mm]f(x) = y[/mm]
> [mm] \textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]

>

> setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]

>

> somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!

Das ist nicht falsch, aber etwas mühsam nachvollziehbar. Du hast gezeigt, dass es für jede natürliche Zahl y eine entsprechende Zahl x gibt und damit die Surjektivität nachgewiesen. Ich hätte hier einfach die Funktionsgleichung nach x aufgelöst, eine kurzte Begründung geschrieben und fertig.

> Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare[/mm]

Ja. [ok]


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]