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Additionstheoreme etc...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Mi 15.05.2013
Autor: bquadrat

Aufgabe
Berechnen Sie allein mit den aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften des Sinus, Kosinus und [mm] sin(\bruch{\pi}{12})=\bruch{1}{2}\wurzel{2-\wurzel{3}} [/mm] die exakten Werte von [mm] sin(\bruch{\pi}{24}) [/mm] , [mm] cos(\bruch{\pi}{24}) [/mm] und [mm] tan(\bruch{\pi}{24}). [/mm]
Dabei ist bei den unterschiedlichen Möglichkeiten etwa in der p-q-Formel usw. die getroffene Auswahl zu begründen; eine Argumentation wie "...laut Taschenrechner..." ist dabei natürlich NICHT legitim.

Wir dürfen nur folgende Informationen für die Berechnung verwenden:
sin(x [mm] \pm [/mm] y)=sin(x)cos(y) [mm] \pm [/mm] sin(y)cos(x)
cos(x [mm] \pm [/mm] y)=cos(x)cos(y) [mm] \mp [/mm] sin(x)sin(y)
sin(-x)=-sin(x)
cos(-x)=cos(x)
[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm]
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm]
[mm] sin(x+\bruch{\pi}{2})=cos(x) [/mm]
[mm] cos(x+\bruch{\pi}{2})=-sin(x) [/mm]
[mm] sin(x+k*2\pi)=sin(x) [/mm]
[mm] cos(x+k*2\pi)=cos(x) [/mm]
und natürlich die Information aus der Aufgabenstellung.

Ich habe jetzt angefangen indem ich gesagt habe:

[mm] sin(\bruch{\pi}{24})=sin(\bruch{\pi}{12}-\bruch{\pi}{24}) [/mm] dann kann ich nämlich die in der Aufgabenstellung genannte Information verwenden. Dann habe ich da stehen:

[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2-\wurzel{3}}cos(\bruch{\pi}{24})-sin(\bruch{\pi}{24})cos(\bruch{\pi}{12}) [/mm]

Wie muss ich nun weitermachen? Und warum erwähnt mein Professor die p-q-Formel in der Aufgabenstellung? Was hat die damit denn zu tun?

Dank im Voraus

Bquadrat

        
Bezug
Additionstheoreme etc...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mi 15.05.2013
Autor: fred97

$ [mm] sin(\bruch{\pi}{12})=sin(\bruch{\pi}{24}+\bruch{\pi}{24}) =2sin(\bruch{\pi}{24})*cos(\bruch{\pi}{24})$ [/mm]

Wir setzen [mm] x:=sin(\bruch{\pi}{24}) [/mm] und a:= [mm] sin(\bruch{\pi}{12}) [/mm]

Dann aben wir:

      [mm] a^2=4x^2*cos^2(\bruch{\pi}{24})=4x^2(1-x^2)=4x^2-4x^4=4u-4u^2, [/mm]

mit [mm] u:=x^2 [/mm]

Für u hast Du also die quadratische Gl:

      [mm] a^2=4u-4u^2. [/mm]

So kommt die pq-Formel durch die Hintertür.

FRED

Bezug
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