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Affine Unterräume: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Fr 07.06.2013
Autor: DrRiese

Aufgabe
a) Beweisen Sie: Sei V [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ein affiner Unterraum der Dimension m und f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] eine Affinität, dann ist auch f(V) ein affiner Unterraum der Dimension m.

b) Wir betrachten die Menge [mm] \mathcal{U} [/mm] aller affinen Unterräume des [mm] \IR^{n} [/mm] und die Gruppe G aller Affinitäten auf [mm] \IR^{n}. [/mm] Wie viele Bahnen gibt es in [mm] \mathcal{U} [/mm] bezüglich der Wirkung von G? Beweisen Sie Ihre Behautpung.


Hallo Zusammen :-)
Habe mal was zusammengestellt, weiss aber nicht, ob das so richtig ist:

a)
V habe die Dimension m. Dann gilt: Da f eine Affinität ist, folgt Bijektivität. Somit ist die Dimension von f(V) = dim V = m.

b)
Ja, da steh ich ein bisschen auf dem Schlauch. Mein Bauchgefühl würde mir jetzt "unendlich viele" sagen, könnte dies aber nicht beweisen...

LG,
DrRiese

        
Bezug
Affine Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Fr 07.06.2013
Autor: hippias


> a) Beweisen Sie: Sei V [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein affiner
> Unterraum der Dimension m und f: [mm]\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] eine
> Affinität, dann ist auch f(V) ein affiner Unterraum der
> Dimension m.
>  
> b) Wir betrachten die Menge [mm]\mathcal{U}[/mm] aller affinen
> Unterräume des [mm]\IR^{n}[/mm] und die Gruppe G aller Affinitäten
> auf [mm]\IR^{n}.[/mm] Wie viele Bahnen gibt es in [mm]\mathcal{U}[/mm]
> bezüglich der Wirkung von G? Beweisen Sie Ihre
> Behautpung.
>  
> Hallo Zusammen :-)
>  Habe mal was zusammengestellt, weiss aber nicht, ob das so
> richtig ist:
>  
> a)
>  V habe die Dimension m. Dann gilt: Da f eine Affinität
> ist, folgt Bijektivität. Somit ist die Dimension von f(V)
> = dim V = m.

Moechtest Du damit sagen, dass $f(V)$ ein affiner Unterraum fuer alle Bijektionen ist?! Also: $f(V)$ ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^{n}$. [/mm] Weise die Eigenschaften fuer $f(V)$ nach, die ein affiner Unterraum erfuellen muss.

>  
> b)
>  Ja, da steh ich ein bisschen auf dem Schlauch. Mein
> Bauchgefühl würde mir jetzt "unendlich viele" sagen,
> könnte dies aber nicht beweisen...

Hier taeuscht Dich Dein Bauchgefuehl. Du hast ja schon eine Invariante der Wirkung kennengelernt: die Dimension. Vielleicht gilt ja auch die Umkehrung: Sind $U, V$ affine Unterraeume gleicher Dimension, dann gibt es eine Affinitaet $f$ mit $f(U)= V$. Was wuerde das ueber die Bahnen sagen?

>  
> LG,
>  DrRiese


Bezug
                
Bezug
Affine Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Sa 08.06.2013
Autor: DrRiese

Danke für deine Antwort :-)
Ok, habe versucht, mit den Gleichungen ein bisschen rumzuspielen, komme dann aber mit  der Dimensionsfrage nicht so richtig weiter...

a) Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor v [mm] \in [/mm] V und einen Untervektorraum [mm] U_{A} [/mm] von V gibt, so dass
A = [mm] v+U_{A}=\{v+u|u \in U_{A}\}. [/mm]

V affiner Unterraum [mm] \Rightarrow V=a+U_{B}=\{v+u|u \in U_{B}\}. [/mm]
f Affinität [mm] \Rightarrow [/mm] f(v)=F(v)+w, [mm] \forall [/mm] v [mm] \in \IR^{n}, [/mm] F(v) linear.
dim V = m
f(V) = F(V)+w = [mm] F(a+U_{B})+w [/mm] = [mm] F(a)+F(U_{B})+w=F(a)+w+\underbrace{ F(U_{B})}_{Untervektorraum} [/mm]
Also affiner Unterraum. Nur wie könnte man jetzt mit der Dimension argumentieren?
Joa, steht irgendwie so ein bisschen auf wackligen Beinen finde ich :-D

Bezug
                        
Bezug
Affine Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Sa 08.06.2013
Autor: hippias


> Danke für deine Antwort :-)
>  Ok, habe versucht, mit den Gleichungen ein bisschen
> rumzuspielen, komme dann aber mit  der Dimensionsfrage
> nicht so richtig weiter...
>  
> a) Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner
> Unterraum, wenn es einen Vektor v [mm]\in[/mm] V und einen
> Untervektorraum [mm]U_{A}[/mm] von V gibt, so dass
>  A = [mm]v+U_{A}=\{v+u|u \in U_{A}\}.[/mm]
>  
> V affiner Unterraum [mm]\Rightarrow V=a+U_{B}=\{v+u|u \in U_{B}\}.[/mm]
>  
> f Affinität [mm]\Rightarrow[/mm] f(v)=F(v)+w, [mm]\forall[/mm] v [mm]\in \IR^{n},[/mm]
> F(v) linear.
>  dim V = m
>  f(V) = F(V)+w = [mm]F(a+U_{B})+w[/mm] =
> [mm]F(a)+F(U_{B})+w=F(a)+w+\underbrace{ F(U_{B})}_{Untervektorraum}[/mm]
>  
> Also affiner Unterraum. Nur wie könnte man jetzt mit der
> Dimension argumentieren?
>  Joa, steht irgendwie so ein bisschen auf wackligen Beinen
> finde ich :-D

Finde ich ganz und gar nicht! $F$ ist linear, bildet also Vektorraeume auf Vektorraeume ab. Wie ist denn die Dimension eines affinen Raumes definiert? $F$ ist ja sogar bijektiv, wie Du glaube ich schon erwaehnt hast. Da koennte man doch eine Aussage ueber die Dimension von [mm] $F(U_{B})$ [/mm] treffen...


Bezug
                                
Bezug
Affine Unterräume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:26 So 09.06.2013
Autor: DrRiese

Also die Dimension von V wäre die Dimension vom Untervektorraum [mm] U_{B}. [/mm] Da f als Affinität bijektiv ist, folgt dass die Dimension von [mm] f(U_{B}) [/mm] = Dimension [mm] U_{B} [/mm] = m.  :-)

Aber zu b) hätte ich irgendwie gar keinen Anhaltspunkt... Mit der Frage: "Wieviele Äquivalenzklassen von affinen Unterräumen gibt es?" Ich konnte nirgendswo finden, wie so etwas überhaupt definiert ist. In der Vorlesung hatten wir das alles (Äquivalenzklassen, affine Unterräume,..) nicht gehabt... :-(


Bezug
                                        
Bezug
Affine Unterräume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Fr 14.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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