matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Alle reellen Lösungen finden
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Analysis des R1" - Alle reellen Lösungen finden
Alle reellen Lösungen finden < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Alle reellen Lösungen finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 22.09.2015
Autor: Mino1337

Aufgabe
Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung [mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm]

Mein Problem ist das ich nicht Verstehe wie man auf folgende umformung kommt:

[mm] cos^{2}(x)[cos^{2}(x)+sin^{2}(x)]=0 [/mm]

Egal wie ich es anstelle ich komme auf:

[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0 [/mm] und laut einer Tabelle in meinem Mathebuch steht dann dort 0=1 weil [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] ist.

Mein erster Schritt war:

[mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm]       durch [mm] cos^{2} [/mm] teilen
[mm] cos^{2}(x)= -sin^{2}(x) +sin^{2}(x) [/mm]
[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0 [/mm]

weiss ich irgendetwas nicht was man beachten müsste bei solchen Aufgaben ?!

        
Bezug
Alle reellen Lösungen finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Di 22.09.2015
Autor: reverend

Hallo Mino,

> Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
> [mm]cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x)[/mm]
>  Mein Problem ist das ich nicht Verstehe wie man auf
> folgende umformung kommt:
>  
> [mm]cos^{2}(x)[cos^{2}(x)+sin^{2}(x)]=0[/mm]

Durch Ausklammern von [mm] \cos^2{(x)}. [/mm]

> Egal wie ich es anstelle ich komme auf:
>  
> [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0[/mm] und laut einer Tabelle in meinem
> Mathebuch steht dann dort 0=1 weil [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
> ist.

Diese Beziehung solltest Du kennen und nicht erst nachschauen müssen. Sie ist wirklich grundlegend und wichtig.

> Mein erster Schritt war:
>  
> [mm]cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x)[/mm]       durch [mm]cos^{2}[/mm]
> teilen

Das ist das Problem.
Um das tun zu dürfen, musst Du sicherstellen, dass [mm] \cos{(x)}\neq{0} [/mm] ist.
Wenn Du nur ausklammerst, brauchst Du Dich darum nicht zu kümmern.

>  [mm]cos^{2}(x)= -sin^{2}(x) +sin^{2}(x)[/mm]
>  
> [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0[/mm]

Tja, das ist dann eine nicht erfüllbare Gleichung.

> weiss ich irgendetwas nicht was man beachten müsste bei
> solchen Aufgaben ?!

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Alle reellen Lösungen finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Mi 23.09.2015
Autor: fred97

Reverend hat recht: die Identität

(1)  $ [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] $


sollte man kennen.

Die Aufgabe kann man auch ohne diese Identität lösen. Gesucht sind alle $x [mm] \in \IR [/mm] $ mit

   $ [mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm] $.

Dazu setzen wir a:=cos(x) und b:=sin(x) und bekommen

(2)  [mm] a^4=-a^2b^2. [/mm]

Die linke Seite in (2) ist [mm] \ge [/mm] 0 und die rechte Seite in (2) ist [mm] \le [/mm] 0. Somit ergibt sich

     [mm] a^4=0. [/mm]

Das ist gleichbedeutend mit

   cos(x)=0.

Fazit: x ist eine Lösung der Gleichung (1)  [mm] \gdw [/mm] x ist Nullstelle des Cosinus.

Die Lösungsmenge der Gl. (1) ist also


  [mm] \{\bruch{\pi}{2}+k \pi : k \in \IZ \}. [/mm]

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]