matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenAnfangswertaufgabe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertaufgabe
Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Anfangswertaufgabe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Fr 10.08.2012
Autor: teo

Aufgabe
Für [mm] \zeta \in \IR [/mm] sei das Anfangswertproblem [mm] x' = arctan(x), x(0) = \zeta [/mm] gegeben. Beweisen Sie folgende Aussagen:

a) Das AWP besitzt genau eine maximale Lösung [mm] \lambda_{\zeta}:I_{\zeta} \to \IR. [/mm]
b) [mm] \lambda_{\zeta} [/mm] besitzt genau dann eine Nullstelle, wenn [mm] \zeta [/mm] = 0 ist.
c) Für alle t [mm] \in I_{\zeta} [/mm] gilt: [mm] \zeta [/mm] - [mm] \frac{\pi}{2}|t| \leq \lambda_{\zeta}(t) \leq \zeta [/mm] + [mm] \frac{\pi}{2}|t|. [/mm]
d) [mm] I_{\zeta} [/mm] = [mm] \IR. [/mm]


Hallo, also bin so vorgegangen:

a) arctan(x) ist lipschitz stetig, da gilt [mm] arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} [/mm] und für alle [mm] x \in \IR: \frac{1}{1+x^2}\leq 1 [/mm]. Mit dem Mittelwertsatz folgt dann [mm] |arctan(y)-arctan(x)| \leq |y-x| [/mm] wobei L = 1 die Lipschitzkonstante ist.
Nach dem Satz von Picard Lindelöf besitzt dann jedes Anfangswertepaar des AWP eine eindeutige Lösung mit maximalen Existenzintervall.

b) Es gilt [mm] \integral arctan(x) dx = xarctan(x) - \frac{1}{2}ln(x^2+1) + c [/mm].  Wegen [mm] x(0) = \zeta [/mm] folgt: [mm] \lambda_{\zeta}(0) = 0*arctan(0) - \frac{1}{2}ln(0^2+1) + c = c = \zeta [/mm]. Somit ist [mm] \lambda_{\zeta}(t) = t*arctan(t) - \frac{1}{2}ln(t^2+1) + \zeta[/mm] Lösung des AWP. Wegen arctan(t) = 0 nur für t = 0 und [mm] ln(t^2+1)= [/mm] 0 ebenfalls nur für t = 0 folgt, dass [mm] \lambda_{\zeta}(t) [/mm] nur in t=0 eine Nullstelle haben kann. Wegen [mm] \lambda_{\zeta}(0)=\zeta [/mm] folgt, dass [mm] \lambda_{\zeta} [/mm] genau dann eine Nullstelle besitzt, wenn [mm] \zeta [/mm] = 0 gilt.

c) So hier weiß ich nicht so richtig. Denn für alle [mm] t\in \IR [/mm] gilt [mm]-\frac{\pi}{2} \leq arctan(t) \leq \frac{\pi}{2}[/mm] also folgt [mm]-\frac{\pi}{2}|t| \leq t*arctan(t) \leq \frac{\pi}{2}|t| [/mm] und [mm]\zeta -\frac{\pi}{2}|t| \leq t*arctan(t) + \zeta \leq \frac{\pi}{2}|t| + \zeta [/mm]. Leider ist aber ja jetzt bei [mm] \lambda_{\zeta} [/mm] noch [mm] -\frac{1}{2}ln(t^2+1) [/mm] dabei. Was mach ich denn damit?

d) [mm] \lambda_{\zeta}(t) [/mm] ist für alle t [mm] \in \IR [/mm] definiert, da arctan(t) und [mm] ln(t^2+1) [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] definiert sind, folglich gilt [mm] I_{\zeta} [/mm] = [mm] \IR. [/mm]
Reicht das?

Vielen Dank fürs drüber schaun!

Grüße


        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Fr 10.08.2012
Autor: leduart

Hallo
dein [mm] \lambda(t) [/mm] bzw x(t) ist keine Losung der DGl_
du hast einfach die rechte  Seite integriert, nach x! aber da steht doch  dx/dt=arctan(x(t))
ich denke es gibt keine explizite Lösung der Dgl, die man mit Separation der Variablen lösen müsste, aber [mm] \integral{1/arctan(x) dx} [/mm] ist wohl nur anzunähern .
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Fr 10.08.2012
Autor: teo

Ok, danke! Das stimmt wohl... wie aber kann ich dann die Aufgabenteile b)-d) lösen ohne die Lösung explizit zu kennen?

Danke!

Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 10.08.2012
Autor: leduart

Hallo
abschätzen, du kennst x Und [mm] \dot [/mm] x am Anfang, vielleicht kann man auch das Inzegral abschätzen?
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]