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Anfangswertproblem: Aufgabe / Korrektur
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:18 Fr 08/07/2016
Author: astol

Aufgabe
Wir betrachten die DGL [mm] x'=3x^{2/3}. [/mm] Zeige dass es auf dem Intervall [mm] [\bruch{1}{2},\infty) [/mm] genau eine Lösung [mm] \alpha [/mm] dieser DGL mit [mm] \alpha(1)=1 [/mm] gibt.

Hallo zusammen, leider hab ich die Vorlesung in der Vergangenen Woche verpasst, so dass ich mir die obige Aufgabe jetzt alleine erschließen muss. Meine Frage lautet also: Kann ich die o.g. Aufgabe wie folgt lösen?

Trennung der Variablen ergibt:
[mm] \integral_{}^{}{d\alpha}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{3x^{2/3}}} [/mm]
[mm] \alpha [/mm] + [mm] c_1=\wurzel[3]{x}+c_2 [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x}+c_2-c_1 [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x}+c [/mm] mit [mm] c=c_2-c_1 [/mm]

Die Anfangsbedingung [mm] \alpha(1)=1 [/mm] liefert
[mm] \wurzel[3]{1}+c=1, [/mm] also c=0

Die Lösung des AWPs ist daher [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x}+0 [/mm]

Geht das so? Besten Dank


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:43 Sa 09/07/2016
Author: hippias

Du hast Dich beim Lösen der DGL verrechnet. Vermeide in Zukunft unbedingt den Kuddel-Muddel mit $x$ und [mm] $\alpha$. [/mm]

Deine Idee die Gleichung mittels Trennung der Variablen zu lösen, ist aber eine gute Idee, jedoch ergibt sich eine noch auszuräumende Schwierigkeit: Sei [mm] $\alpha$ [/mm] Lösung des AWPs, d.h. [mm] $\alpha'(t)= 3\left(\alpha(t)\right)^{\frac{2}{3}}$ [/mm] und [mm] $\alpha(1)= [/mm] 1$. Wenn Du nun [mm] $\frac{\alpha'(t)}{3\left(\alpha(t)\right)^{\frac{2}{3}}}$ [/mm] betrachtest, wer garantiert Dir, dass [mm] $\alpha(t)\neq [/mm] 0$ ist?

Bemühe den Startwert, um das zu klären.

Bezug
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