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Anfangswertproblem: Hey
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Sa 26.01.2013
Autor: looney_tune

Aufgabe
Berechne für [mm] x_{0},y_{0} \in [/mm] IR eine Lösung des folgenden AWP auf einer kleinen Umgebung um [mm] x_{0}: [/mm]
y´=cos(x)exp(y) auf IR [mm] \times [/mm] IR, [mm] y(x_{0})=y_{0} [/mm]

Bestimme im Fall [mm] y_{0}=0 [/mm] das maximale Existenzintervall dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm] x_{0} [/mm] explizit.


Ich habe versuch dieses Problem mit Trennung des Variablen  zu lösen:

y´=cos(x)exp(y)
[mm] \bruch{dy}{dx}= [/mm] cos(x)exp(y)
[mm] \bruch{1}{e^y} [/mm] dy= cos(x) dx
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{e^y} dy}=\integral_{}^{}{cos(x) dx} [/mm]
[mm] -e^{-y}+c_{1}=sin(x)+c_{2} -c_{1}+c_{2}=c [/mm]
y= -ln(-sin(x)+c)
[mm] y(x_{0})=-ln(-sin(x_{0})+c) [/mm]

max. Existenzintervall:
[mm] -ln(-sin(x_{0})+c)=0 [/mm]
[mm] -sin(x_{0})+c=1 [/mm]
c= [mm] 1+sin(x_{0}) [/mm]

Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich weiß nicht weiter und was mit Existenintervall gemeint ist, ist mir auch nicht klar. Stimmt das was ich habe? und wie muss ich weiter machen?


        
Bezug
Anfangswertproblem: Tulpfehler ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Sa 26.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

heißt das wirklich

cos(x)*exp(x)

oder nicht eher

cos(x)*exp(y)?

Weiter unten hast du es in der zweiten Version verwendet, es würde so auch vile mehr Sinn ergeben, aber könntest du das noch klarstellen?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Sa 26.01.2013
Autor: looney_tune

Ja stimmt, es sollte cos(x)*exp(y) heißen.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Sa 26.01.2013
Autor: Helbig


> Berechne für [mm]x_{0},y_{0} \in[/mm] IR eine Lösung des folgenden
> AWP auf einer kleinen Umgebung um [mm]x_{0}:[/mm]
>  y´=cos(x)exp(y) auf IR [mm]\times[/mm] IR, [mm]y(x_{0})=y_{0}[/mm]
>  
> Bestimme im Fall [mm]y_{0}=0[/mm] das maximale Existenzintervall
> dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm]x_{0}[/mm] explizit.
>  
> Ich habe versuch dieses Problem mit Trennung des Variablen  
> zu lösen:
>  
> y´=cos(x)exp(y)
> [mm]\bruch{dy}{dx}=[/mm] cos(x)exp(y)
>  [mm]\bruch{1}{e^y}[/mm] dy= cos(x) dx
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{e^y} dy}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]-e^{-y}+c_{1}=sin(x)+c_{2} -c_{1}+c_{2}=c[/mm]
>  
> y= -ln(-sin(x)+c)
>  [mm]y(x_{0})=-ln(-sin(x_{0})+c)[/mm]
>  
> max. Existenzintervall:
>  [mm]-ln(-sin(x_{0})+c)=0[/mm]
>  [mm]-sin(x_{0})+c=1[/mm]
>  c= [mm]1+sin(x_{0})[/mm]
>  
> Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich weiß nicht weiter
> und was mit Existenintervall gemeint ist, ist mir auch
> nicht klar. Stimmt das was ich habe? und wie muss ich
> weiter machen?

Hallo looney_tune,

Die Lösung hast Du richtig bestimmt. Nun ist $y(x)$ genau dann definiert, wenn $c - [mm] \sin [/mm] x >0$ ist.

Das maximale Existenzintervall ist daher das größte Intervall $I$, so daß [mm] $1+\sin x_0 [/mm] - [mm] \sin [/mm] x > 0$ für alle [mm] $x\in I\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang

>  

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Sa 26.01.2013
Autor: looney_tune

Hallo,

vielen Dank. Ist dann die Aufgabe fertig?

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Sa 26.01.2013
Autor: MathePower

Hallo  looney_tune,

> Hallo,
>  
> vielen Dank. Ist dann die Aufgabe fertig?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
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