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Anwendung Mittelwerteigensch.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:38 Di 10.05.2016
Autor: Killercat

Aufgabe
Gegeben sei eine holomorphe Funktion f und eine offene Umgebung U.
Zeigen sie:
[mm]\nexists z_0 \in U: |f(z_0)|> |f(z)| \forall z \in U\setminus{z_0}[/mm]

Die Aufgabe ist mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft und ohne das Maximumsprinzip zu zeigen.

Mein Problem ist, dass ich die Aussage ohne letzteres nicht gezeigt kriege. Wenn ich das Maximumsprinzip verwenden kann, so folgt aus dessen Beweis mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft, dass wenn [mm]|f(z_0)| = max{|f(z)|: z \in B_r(z_0)}[/mm], wobei hier alle z auf dem Rand gemeint sind, ein Widerspruch.

Wie krieg ich das jetzt aber ohne hin?
Ich bin erstmal für jeden Input dankbar

        
Bezug
Anwendung Mittelwerteigensch.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Di 10.05.2016
Autor: HJKweseleit


> Gegeben sei eine holomorphe Funktion f und eine offene
> Umgebung U.
>  Zeigen sie:
>  [mm]\nexists z_0 \in U: |f(z_0)|> |f(z)| \forall z \in U\setminus{z_0}[/mm]
>  
> Die Aufgabe ist mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft und
> ohne das Maximumsprinzip zu zeigen.
>  
> Mein Problem ist, dass ich die Aussage ohne letzteres nicht
> gezeigt kriege. Wenn ich das Maximumsprinzip verwenden
> kann, so folgt aus dessen Beweis mit Hilfe der
> Mittelwerteigenschaft, dass wenn [mm]|f(z_0)| = max{|f(z)|: z \in B_r(z_0)}[/mm],
> wobei hier alle z auf dem Rand gemeint sind, ein
> Widerspruch.
>  
> Wie krieg ich das jetzt aber ohne hin?
>  Ich bin erstmal für jeden Input dankbar  


Zu [mm] z_0 [/mm] gibt es eine Kreisscheibe mit Radius r, die ganz in U liegt. Dann müsste [mm] |f(z_0)|>|f(z)| [/mm] für alle z auf dem Rand sein, da diese alle in U liegen.

Nun besagt die Mittelwerteigenschaft:

[mm] f(z_0)=\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\partial r}^{}{\bruch{f(z)}{z-z_0} dz} \Rightarrow [/mm]

[mm] |f(z_0)|=|\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\partial r}^{}{\bruch{f(z)}{z-z_0} dz}|\le \bruch{1}{2\pi } \integral_{\partial r}^{}{\bruch{|f(z)|}{|z-z_0|} |dz|}=\bruch{1}{2\pi } \integral_{\partial r}^{}{\bruch{|f(z)|}{r} |dz|}=\bruch{1}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{|f(z)|} |dz|\le \bruch{1}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{max(|f(z)|)} |dz|=\bruch{max(|f(z)|)}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{} |dz|=\bruch{max(|f(z)|)}{2\pi r } *2\pi [/mm] r = max(|f(z)|,

also insgesamt [mm] |f(z_0)|< [/mm] max(|f(z)|, und [mm] |f(z_0)| [/mm] wäre nicht maximal.

Bezug
                
Bezug
Anwendung Mittelwerteigensch.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 Di 10.05.2016
Autor: Killercat

Vielen lieben Dank, das war schon mehr als ich erwartet habe :)!

Bezug
        
Bezug
Anwendung Mittelwerteigensch.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 12.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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