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Anz. k-elem. Teilmengen, Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Di 07.11.2017
Autor: Teufel

Hi!

Zur Zeit beschäftigt mich folgende Frage: Angenommen man hat die Menge [mm] $\{1,\ldots, n\}$. [/mm] Auf wie viele Arten kann man $k$ Elemente daraus ziehen, sodass jedes der $k$ Elemente mindestens Abstand 1 zu den anderen hat? Also wie viele [mm] $\{x_1,\ldots, x_k\}\subseteq\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $|x_i-x_j|>1 \forall i\not= [/mm] j$ gibt es?

Gibt es da eine geschlossene Formel für? Ich komme nur auf die Rekursionsgleichung mit [mm] $a_{2k,k}=1$ [/mm] und [mm] $a_{n,1}=n$. [/mm]

[mm] $$a_{n,k}=\sum\limits_{i=2}^{n}a_{n-i,k-1}$$ [/mm]

        
Bezug
Anz. k-elem. Teilmengen, Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Di 14.11.2017
Autor: tobit09

Hi Teufel!


Ich komme (im Falle [mm] $n\ge2k-1$) [/mm] auf die gesuchte Anzahl gegeben durch den Binomialkoeffizienten [mm] $\binom{n-(k-1)}{k}$, [/mm] also der Anzahl der k-elementigen Teilmengen von [mm] $\{1,\ldots,n-(k-1)\}$. [/mm]


Anschaulicher Erklärungsversuch dazu:

Die Teilmengen von [mm] $\{1,\ldots,n\}$, [/mm] die zwischen je zwei Elementen "mindestens ein Element Lücke" haben, erhält man, indem man von einer beliebigen k-elementigen Teilmenge $Z$ von [mm] $\{1,\ldots,n-(k-1)\}$ [/mm] ausgeht und hinter jedem der k-1 ersten Elemente von $Z$ eine "um 1 vergrößerte Lücke" einfügt, indem man Elemente von $Z$ durch größere Werte ersetzt.

Ich weiß nicht, ob diese Idee so verständlich wird.
Wenn nötig, muss ich sie formalisieren.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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