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Anzahl Surjektionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Mo 31.10.2016
Autor: valoo

Aufgabe
Seien $ A $ und $ B $ endliche Mengen. Wie viele Surjektionen gibt es dann von $ A $ nach $ B $?

Hallo allerseits!

Dies ist nur ein elementarkombinatorisches Problem und dennoch scheint es etwas knifflig zu sein (oder ich bin einfach doof). Kann man eine allgemeine Formel aufstellen, zumindest für den Fall, dass $ B $ drei Elemente hat?

Herangehensweise 1:
Für jedes Element von $ B $ suchen wir ein Urbild aus $ A $, dafür gibt es
$ n (n-1) (n-2) $ Möglichkeiten (A habe n Elemente). Den Rest können wir irgendwohin abbilden, also haben wir insgesamt
$ n (n-1) (n-2) [mm] 3^{n-3} [/mm] $ Surjektionen.
Hat $ A $ auch drei Elemente, so ist dies offenbar richtig, aber zum Beispiel für $ | A | = 10 $ kommen hier etwa 1,5 Millionen raus, aber es gibt nur an die 60000 Abbildungen...
Was ist also hieran falsch?

Herangehensweise 2:
Wir zählen alle Abbildungen und ziehen die nicht surjektiven wieder ab. Es gibt $ [mm] 3^{n} [/mm] $ Abbildungen. Von diesen sind 3 konstant und [mm] 2^{10} [/mm] bilden jeweils nur in zweielemtige Mengen ab. Man hat also
$ [mm] 3^{n} [/mm] - 3 [mm] \cdot 2^{n}+ [/mm] 3 $ Surjektionen.

Herangehensweise 3:
Ein Induktionsversuch. Für n=3 sind es offenbar 6. Ist nun n=4, so gibt es vier Möglichkeiten ein Element aus A zu wählen, sodass die Abbildung ohne dieses Element eine Bijektion wird. Man kann dieses auf 3 verschiedene Elemente abbilden. Man käme so also auf 4*3*6=72.
Dies widerspräche aber beiden obigen Methoden, im ersten Fall wären es 18, im zweiten 36.

Ich würde sagen, dass 2) richtig ist, sehe aber irgendwie nicht, was bei den beiden anderen falsch ist.

LG
valoo

        
Bezug
Anzahl Surjektionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mo 31.10.2016
Autor: Salamanderkoenigin

Schönen Tag, valoo!

Man kann eine solche Formel finden, und zwar beträgt die Anzahl der surjektiven Abbildungen [mm] $\{1,\dots,n\}\longrightarrow\{1,\dots,k\}$ [/mm] genau [mm] $\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n$. [/mm] Die Zauberworte heißen "Inklusion und Exklusion". Im Prinzip handelt es sich hierbei um eine Erweiterung der zweiten Herangehensweise.

Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin

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