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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Anzahl der Nullstellen
Anzahl der Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anzahl der Nullstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 16.07.2017
Autor: studiseb

Aufgabe
Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm] f(z)=z^5+iz^3-4z+i [/mm] in {1<|z|<2}.

Hallo Freunde der komplexen Zahlen,

mir fehlt die zündende Idee wie ich die obige Aufgabe sinnvoll behandeln kann und freue mich über Tipps und Lösungsansätze :-)

Der Fundamentalsatz sagt ja dass ich bei einem Polynom vom Grad 5 in [mm] \IC [/mm] fünf Nullstellen haben muss. Jetzt stellt sich also nur die Frage, wie ich feststellen kann, welche dieser 5 Nullstellen auch die Eigenschaft 1<|z|<2 erfüllen. Dafür bräuchte ich Eure hilfe. DANKE!

        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 16.07.2017
Autor: HJKweseleit

Versuchs mal mit dem Satz von Rouché. (Wickipicki oder so)

Bezug
        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mo 17.07.2017
Autor: M.Rex

Halllo

Hast du denn schon die fünf Nullstellen bestimmt? Wenn ja, musst du doch nur noch den Betrag dieser Nullstellen berechnen.

Marius

Bezug
        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 18.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm]f(z)=z^5+iz^3-4z+i[/mm]
> in {1<|z|<2}.

Satz von Rouché anwenden.

Mach so:

Für |z|=1 bilde g(z)=-4z, [mm] h(z)=z^5+iz^3+i [/mm]

Es ist |g(z)|=|-4z|=4|-z|=4  und [mm] |h(z)|\le |z|^5+|i|^3|z|^3+|i|=1+1+1=3, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.

Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=1. g hat dort nur eine Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).

Für |z|=2 bilde [mm] g(z)=z^5, h(z)=iz^3-4z+i [/mm]

Es ist [mm] |g(z)|=|z|^5=32 [/mm]  und [mm] |h(z)|\le |i|^3|z|^3+|-4z|+|i|=8+8+1=17, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.

Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=2. g hat dort eine 5-fach Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).

Mehr Nullstellen hat f nicht. 4 liegen im angegebenen Kreisring und eine im Innenkreis. Wie sie heißen, ist dabei uninteressant.

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