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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 19:44 So 08.01.2006 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | ABC sei ein spitzwinkliger Dreieck. Die Winkelhalbierende zwischen den beiden Höhen von A und C schneide AB in P und BC in Q. Die Winkelhalbierende bei B schneide HN in R, wobei H der Höhenschnittpunkt und N der Mittelpunkt von AC ist. Man zeige, dass BPRQ ein Sehnenviereck ist. |
Viel Spaß (Moudi :) )!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 14.01.2006 | | Autor: | moudi |
| Aufgabe | ABC sei ein spitzwinkliger Dreieck. Die Winkelhalbierende
zwischen den beiden Höhen von A und C schneide AB in P und
BC in Q. Die Winkelhalbierende bei B schneide HN in R,
wobei H der Höhenschnittpunkt und N der Mittelpunkt von AC
ist. Man zeige, dass BPRQ ein Sehnenviereck ist. |
Hallo Hanno
Da ich ja mittlerweile als Geometriespezialist gelte, fühle ich mich herausgefordert, hier eine Lösung zu präsentieren.
Zuerst ein paar Bezeichnungen: Seien E und F die Höhenfusspunkte der Höhen bei C und A und seien NX und NY die Lote von N auf AB und BC.
Wenn ABC ein spitzwinkliges Dreieck ist, dann liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks und die folgende Figur ist korrekt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Dreiecke [mm] $\triangle [/mm] AEH$ und [mm] $\triangle [/mm] CFH$ sind ähnlich (mitsamt der Winkelhalbierenden PQ).
Daraus folgt erstens, dass die Winkel [mm] $\sphericalangle [/mm] BPQ$ und [mm] $\sphericalangle [/mm] BQP$ gleich sind. Somit ist [mm] $\triangle [/mm] BPQ$ gleichschenklig.
Zweitens folgt daraus, dass der Punkt P die Strecke AE im gleichen Verhältnis teilt, wie der Punkt Q die Strecke CF. Weil N die Mitte von AC ist, so ist X die Mitte von AE und Y die Mitte von CF. Daraus folgt natürlich, dass P die Strecke XE im gleichen Verhältnis teilt, wie Q die Strecke YF, denn die Strecken zwischen A und E und die Strecken zwischen C und F sind zueinander proportional.
Wenn wir jetzt in P und Q die Lote zu AB und BC errichten, so liegt ihr Schnittpunkt R auf der Strecke NH. Das ist eine Konsequenz des Strahlensatzes, denn wenn wir von demjenigen Punkt zwischen N und H -- der die Strecke NH im gleichen Verhältnis teilt, wie P die Strecke XE und Q die Strecke YF -- die Lote auf AB und BC fällen, so sind die Lotfusspunkte die Punkte P und Q.
Weil PB und QB gleich lang sind, müssen auch PR und QR gleich lang sein, dann muss aber R auf der Winkelhalbierenden von [mm] $\beta$ [/mm] sein. Damit habe ich gezeigt, dass sich NH, die Winkelhalbierende des Winkels [mm] $\beta$ [/mm] und die Lote in P und Q in einem Punkt R schneiden.
Und es ist jetzt klar, dass BPRQ ein Sehnenviereck ist.
mfG Moudi
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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