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Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - Aufgabe #54 (DMO),(GEO)
Aufgabe #54 (DMO),(GEO) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #54 (DMO),(GEO): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:39 Sa 09.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Hier mal wieder eine kleine, recht einfache Geometrieaufgabe aus einer ehemaligen Landesrunde:

Die vier Punkte $A,B,C,D$ liegen auf einer Kreislinie $k$. Ferner liege ein Punkt $P$ so auf $AD$, dass $DP=DB=DC$ gilt. Man zeige, dass $P$ der Inkreismittelpunkt von $ABC$ ist.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #54 (DMO),(GEO): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mi 13.07.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Hanno,

Da [DB] = [CD] ist [mm] $\Delta_{BCD}$ [/mm] gleichschenklig, und somit [mm]w(DCB) = w(CBD)[/mm].
Mit dem Peripheriewinkelsatz folgt nun:
$w(DCB)=w(DAB)=w(CBD)=w(CAD)$
somit halbiert [mm] $g(A,D)\equiv [/mm] g(A,P)$ w(CAB).

Da [CD]=[PD] ist [mm] $\Delta_{DPC}$ [/mm] gleichschenklig, und somit w(DCP)=w(CPD).
$w(BCP)=w(DCP)-w(DCB)=w(CPD)- w(CAD)$
$w(CPM)=w(PCA)+w(CAP)$ (Außenwinkel in [mm] $\Delta_{PAC})$ [/mm]
[mm] $\gdw\, [/mm] w(PCA)=w(CPD)-w(CAP)=w(CPD)-w(CAD)$
Somit halbiert $g(C,P)$ den Winkel w(DCA).

Da P Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender in [mm] $\Delta_{ABC}$ [/mm] ist, ist P auch Inkreismittelpunkt von [mm] $\Delta_{ABC}$ [/mm]


Gruß Samuel

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #54 (DMO),(GEO): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Do 14.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Samuel!

> Da [DB] = [CD] ist $ [mm] \Delta_{BCD} [/mm] $ gleichschenklig, und somit $ w(DCB) = w(CBD) $.
> Mit dem Peripheriewinkelsatz folgt nun:
> $ w(DCB)=w(DAB)=w(CBD)=w(CAD) $
> somit halbiert $ [mm] g(A,D)\equiv [/mm] g(A,P) $ w(CAB).

Bis hierhin ist alles klar [ok].

> Da [CD]=[PD] ist $ [mm] \Delta_{DPC} [/mm] $ gleichschenklig, und somit w(MCP)=w(CPM).

Warum das? Ich nehme an, M soll der Mittelpunkt des Kreises sein, auf dem ABCD liegen - richtig? Aber wenn [mm] $\Delta_{DPC}$ [/mm] gleichschenklig ist, dann folgt daraus doch lediglich, dass [mm] $\angle DCP=\angle [/mm] CPD$ gilt - wie kommst du hier auf eine Verbindung zum Kreismittelpunkt $M$?
Den Rest kann ich dann leider ebenso wenig nachvollziehen.

Kannst du das nochmal ein wenig erläutern?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe #54 (DMO),(GEO): M=D
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Do 14.07.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Hanno,

Ich es gilt $ M [mm] \equiv [/mm] D $!
Ich hab mich da mit den Bezeichnungen selbst verwirrr. Der Grundgedanke war, dass P irgendwo auf dem Kreis um D liegt, der durch B und C geht;  D also Mittelpunkt eines zweiten Kreises ist...
Diese Überlegung hat aber außer der Bezeichnung "M [mm] \equiv [/mm] D" keine Früchte getragen.
Hab's jetzt im Artikel auch verbessert.


Gruß Samuel

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe #54 (DMO),(GEO): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Do 14.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Samuel!

Ok, jetzt konnte ich das nachvollziehen.

> Somit halbiert g(C,P) den Winkel w(DCA).

Du meinst natürlich [mm] $\angle [/mm] BCA$.


Der Rest sollte richtig sein [ok].


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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