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Aufgabe 6: Unters. d. Monotonieverhaltens
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 12.05.2008
Autor: argl

Aufgabe
  Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von folgenden Funktionen !

a) $f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^3$ [/mm]

b) $f(x) = [mm] x^4 [/mm] + x$

c) $f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $ für $ x > 0 $

d) $f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{4}\ [/mm] x - 2 $

e) $f(x) = [mm] \bruch{1}{6}\ x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 6x + 1 $

f) $f(x) = [mm] \bruch{3}{4}\ x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] $

g) $f(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 4x $

h) $f(x) = x(2 - ln(x)) $

i) $f(x) = [mm] e^x(x [/mm] - 4) $





        
Bezug
Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Sa 24.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie!

Meine Lösungsvorschläge zu dieser Aufgabe sind:

a)

[mm] f'(x)=5x^4+3x^2 [/mm]

[mm] x^2*(5x^2+3) [/mm] =0
[mm] x_1_,_2=0 [/mm]

Ich kann hier keine Monotonie feststellen.

b)

[mm] f'(x)=4x^3+1 [/mm]

[mm] 4x^3+1=0 [/mm]

x=-0,6299
x>-0,6299 steigend
x<-0,6299 fallend

c)
f'(x)=1

Steigend?

d) [mm] f'(x)=x^2+2x-1,25 [/mm]

[mm] x^2+2x-2,5=0 [/mm]

[mm] x_1_,_2= \bruch{-2+-\wurzel{4-4*1*(-1,25)} }{2} [/mm]

[mm] x_1=-2,5 [/mm]
[mm] x_2=0,5 [/mm]

-2,5>x>0,5   steigend
-2,5<x<0,5   fallend

e)

[mm] f'(x)=0,5x^2-4x+6 [/mm]

[mm] 0,5x^2-4x+6=0 [/mm]

[mm] x_1_,_2= \bruch{+4+-\wurzel{16-4*0,5*6} }{1} [/mm]

[mm] x_1=6 [/mm]
[mm] x_2=2 [/mm]
2>x>6   steigend
2<x<6    fallend

f)

[mm] f'(x)=3x^3+3x^2-6x [/mm]

[mm] 3x^3+3x^2-6x=0 [/mm]
[mm] x(3x^2+3x-6)=0 [/mm]
[mm] x_1=0 [/mm]

Mit Mitternachtsformel:

[mm] x_2=-2 [/mm]
[mm] x_3=1 [/mm]

0<x<1
x<-2               fallend

0>x>-2 und x>1  steigend

g)

[mm] f'(x)=-3x^2+4x-4 [/mm]

Da beim Ausrechnen mit der Mitternachtsformel der Ausdruck unter der Wurzel nicht def. ist, kann ich über die Monotonie nichts sagen, oder?

h)

f'(x)=1-lnx
x=e
x>e  fallend
x<e  steigend

i)

[mm] f'(x)=e^x*(x-3) [/mm]

x>3  steigend
x<3   fallend

Stimmen meine Überlegungen?

Vielen Dank für die Hilfe!

Grüße

Angelika











Bezug
                
Bezug
Aufgabe 6: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Di 27.05.2008
Autor: argl

a) $ f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] $

zu a)

$ [mm] f'(x)=5x^4+3x^2 [/mm] $

$ [mm] x^2\cdot{}(5x^2+3) [/mm] $ =0
$ [mm] x_1_,_2=0 [/mm] $

[ok]


Ich kann hier keine Monotonie feststellen.

[notok]

Denkfehler. Mit Sicherheit kannst du bei dieser Funktion eine Monotonie feststellen. ;-)

b) $ f(x) = [mm] x^4 [/mm] + x $

zu b)
$ [mm] f'(x)=4x^3+1 [/mm] $

[ok]

[mm] $x_1=-0,6299$ [/mm]

[ok]

x>-0,6299 steigend
x<-0,6299 fallend

[ok]

c) $ f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $ für $ x > 0 $

zu c)
f'(x)=1

Steigend?

[ok]

Was für eine Art von Funktion ist dass denn ? Da kannst du dir das Ableiten auch sparen. ;-)

d) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{4}\ [/mm] x - 2 $

zu d)

$ [mm] f'(x)=x^2+2x-1,25 [/mm] $

$ [mm] x^2+2x-2,5=0 [/mm] $

$ [mm] x_1_,_2= \bruch{-2+-\wurzel{4-4\cdot{}1\cdot{}(-1,25)} }{2} [/mm] $

$ [mm] x_1=-2,5 [/mm] $
$ [mm] x_2=0,5 [/mm] $

[ok]

-2,5>x>0,5   steigend
-2,5<x<0,5   fallend

[ok]

Ausführlicher (und meiner Meinung nach nachvollziehbarer) kannst du es aber so angeben:

$ [mm] -\infty \le [/mm] x < [mm] -\bruch{10}{4}\ [/mm] $

streng monoton steigend

$ [mm] -\bruch{10}{4} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $

streng monoton fallend

$ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < x [mm] \le \infty [/mm] $

streng monoton steigend

e) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{6}\ x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 6x + 1 $

zu e)

$ [mm] f'(x)=0,5x^2-4x+6 [/mm] $

$ [mm] 0,5x^2-4x+6=0 [/mm] $

$ [mm] x_1_,_2= \bruch{+4+-\wurzel{16-4\cdot{}0,5\cdot{}6} }{1} [/mm] $

$ [mm] x_1=6 [/mm] $
$ [mm] x_2=2 [/mm] $

[ok]

2>x>6   steigend
2<x<6    fallend

[ok]

oder ...

[mm] $-\infty \le [/mm] x<2 $

streng monoton steigend

$2<x<6$

streng monoton fallend

$ 6< x [mm] \le \infty [/mm] $

streng monoton steigend

f) $ f(x) = [mm] \bruch{3}{4}\ x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] $

zu f)

$ [mm] f'(x)=3x^3+3x^2-6x [/mm] $

$ [mm] 3x^3+3x^2-6x=0 [/mm] $
$ [mm] x(3x^2+3x-6)=0 [/mm] $
[mm] $x_1=0$ [/mm]
[mm] $x_2=-2$ [/mm]
[mm] $x_3=1$ [/mm]

[ok]

0<x<1            (steigend meinst du wahrscheinlich)
x<-2               fallend

[notok]

Dass ist aber nicht vollständig. Es müsste lauten:

$ [mm] -\infty \le [/mm] x < -2 [mm] \wedge [/mm] 0 < x < 1 $

streng monoton fallend

$ -2 < x < 0 [mm] \wedge [/mm] 1 < x [mm] \le \infty [/mm] $

streng monoton steigend

g) $ f(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 4x $

zu g)

$ [mm] f'(x)=-3x^2+4x-4 [/mm] $

[ok]

Da beim Ausrechnen mit der Mitternachtsformel der Ausdruck unter der Wurzel nicht def. ist, kann ich über die Monotonie nichts sagen, oder?

[notok]

Selber Denkfehler wie bei Aufgabenteil a). Nur, weil die Funktion ihr Monotonieverhalten an keiner Stelle ändert, heisst dass nicht, dass sie keines besitzt, im Gegenteil.

Die Lösung wäre:

$ [mm] -\infty \le [/mm] x [mm] \le \infty [/mm] $

streng monoton fallend

i) $ f(x) = [mm] e^x(x [/mm] - 4) $

zu i)

$ [mm] f'(x)=e^x\cdot{}(x-3) [/mm] $

[ok]

x>3  steigend
x<3   fallend

[ok]

Hm, naja sieht doch ganz gut aus.

[ok]:-)

Grüsse, Alex.  

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe 6: Neuer Vorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Mi 28.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Alex und vielen Dank für deine Verbesserung!

Ich finde deine Schreibweise  bei der Monotonie  viel übersichtlicher und werde sie in Zukunft verwenden.
Bei a) wäre die Kurve überall monoton steigend, oder?
Also  [mm] -\infty\le x\le\infty [/mm]

Viele Grüße

Angelika

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe 6: Teil a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 28.05.2008
Autor: argl

a) wäre die Kurve überall monoton steigend, oder?
Also  $ [mm] -\infty\le x\le\infty [/mm] $

[ok]

richtig.

Bezug
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