Aufgabe 7 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:46 Mo 12.05.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf ihr Krümmungsverhalten !
a) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{6}\ x^3 [/mm] - 2x $
b) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}\ x^2 [/mm] $
c) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 3x + [mm] \bruch{11}{3}\ [/mm] $
d) $ f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 2 $
e) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{2}\ x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}\ [/mm] x $
f) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{4}\ x^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] $
g) $ f(x) = [mm] x^5 [/mm] - 5x $
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Hallo Tyskie und argl!
Habe gesehen du hast ein Übungsblatt zur Integralrechnung, von der ich allerdings noch keine Ahnung habe. Ich weiß nur, dass dies der umgekehrte Vorgang zum differenzieren ist. Obwohl wir dieses Thema in diesem Schuljahr nicht mehr durchnehmen, werde ich vielleicht gegen Anfang Juni einige Übungen probieren. Ist doch auch eine gute Übung zur Wiederholung der Ableitungsregeln, oder?
Nun zu den Funktionsdiskussionen:
a) f'(x) = [mm] 0,5x^2-2
[/mm]
Indem ich gleich 0 setze erhalte ich das Minima (2;-2,6)
f''(x) = x
Also konvex für x>0, konkav für x<0 Wendepunkt(0;0)
b) f'(x) = [mm] x^2+3x
[/mm]
f''(x) = 2x+3
f'''(x)=2
Max.(-6;-18)
Min.(3;22,5)
Konvex x>-1,5
Konkav x<-1,5
W.(-1,5;2,25)
c)
f'(x)= [mm] x^2-2x-3
[/mm]
f''(x)=2x-2
Min.(3;-5,3)
Max.(-1;5,3)
Konvex x>1
Konkav x<1
W.(1;0)
d)
f'(x)= [mm] 3x^2+6x
[/mm]
f''(x)=6x+6
f'''(x)=6
Max.(-2;6)
Min.(0;2)
Konvex x>-1
Konkav x<-1
W.(-1;4)
e)
[mm] f'(x)=1,5x^2-1,5
[/mm]
f''(x)= 3x
f'''(x)=3
Min.(1;-1)
Max.(-1;1)
Kovex x>0
Konkav x<0
W.(0;0)
f)
f'(x)= [mm] x^3-x^2
[/mm]
f''(x)= [mm] 3x^2-2x
[/mm]
f'''(x)=6x-2
Min.(0;0)
Min.(1;-0,083)
Konvex x>1 und [mm] -\bruch{1}{3} [/mm]
<x<0
Konkav x< [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] und 0<x<1
W. (1;-0,083) u. ([mm] -\bruch{1}{3} [/mm] ;0,00925)
g)
f'(x)= [mm] 5x^4-5
[/mm]
[mm] f''(x)=20x^3
[/mm]
[mm] f'''(x)=60x^2
[/mm]
Min. (1;-4)
Max.(-1;4)
Konvex x>0
Konkav x<0
W.(0;0)
Das sind einige meiner 1. Funktionsdiskussionen, deshalb wird wahrscheinlich einiges zu verbessern sein.
Vielleicht passt das nicht hierher, aber heute war mündliche Prüfung, und obwohl wir in der Schule bis jetzt nur die Potenzregel, Summenregel und die Faktorenregel gemacht haben habe ich in der Aufregung dumme Fehler gemacht z.B f(x) = [mm] x^3-x [/mm] ich schreibe [mm] 2x^2-1. [/mm] Weil mich das besonders geärgert hat möchte ich dich fragen wie man solchen Fehlern ein Ende macht? Oder passiert sowas jeden? Eigentlich habe ich jetzt viel Übung und sowas ist mir zuhause noch nie passiert.
Jedenfalls danke ich dir für die Hilfe!
Grüße
Angelika
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Hi Angelika,
> Hallo Tyskie und argl!
>
> Habe gesehen du hast ein Übungsblatt zur Integralrechnung,
> von der ich allerdings noch keine Ahnung habe. Ich weiß
> nur, dass dies der umgekehrte Vorgang zum differenzieren
> ist. Obwohl wir dieses Thema in diesem Schuljahr nicht mehr
> durchnehmen, werde ich vielleicht gegen Anfang Juni einige
> Übungen probieren. Ist doch auch eine gute Übung zur
> Wiederholung der Ableitungsregeln, oder?
>
Ja.
> Nun zu den Funktionsdiskussionen:
>
> a) f'(x) = [mm]0,5x^2-2[/mm]
>
> Indem ich gleich 0 setze erhalte ich das Minima (2;-2,6)
>
> f''(x) = x
>
> Also konvex für x>0, konkav für x<0 Wendepunkt(0;0)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) f'(x) = [mm]x^2+3x[/mm]
> f''(x) = 2x+3
> f'''(x)=2
>
> Max.(-6;-18)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Min.(3;22,5)
> Konvex x>-1,5
> Konkav x<-1,5
> W.(-1,5;2,25)
>
>
> c)
> f'(x)= [mm]x^2-2x-3[/mm]
> f''(x)=2x-2
> Min.(3;-5,3)
> Max.(-1;5,3)
> Konvex x>1
> Konkav x<1
> W.(1;0)
>
>
> d)
>
> f'(x)= [mm]3x^2+6x[/mm]
> f''(x)=6x+6
> f'''(x)=6
> Max.(-2;6)
> Min.(0;2)
> Konvex x>-1
> Konkav x<-1
> W.(-1;4)
>
> e)
> [mm]f'(x)=1,5x^2-1,5[/mm]
> f''(x)= 3x
> f'''(x)=3
> Min.(1;-1)
> Max.(-1;1)
> Kovex x>0
> Konkav x<0
> W.(0;0)
>
> f)
> f'(x)= [mm]x^3-x^2[/mm]
> f''(x)= [mm]3x^2-2x[/mm]
> f'''(x)=6x-2
> Min.(0;0)
> Min.(1;-0,083)
> Konvex x>1 und [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> <x<0
> Konkav x< [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] und 0<x<1
> W. (1;-0,083) u. ([mm] -\bruch{1}{3}[/mm] ;0,00925)
>
Bitte bei dieser Aufgabe ein Rechnung. Weisst du was ein Sattelpunkt ist?
> g)
> f'(x)= [mm]5x^4-5[/mm]
> [mm]f''(x)=20x^3[/mm]
> [mm]f'''(x)=60x^2[/mm]
> Min. (1;-4)
> Max.(-1;4)
> Konvex x>0
> Konkav x<0
> W.(0;0)
>
> Das sind einige meiner 1. Funktionsdiskussionen, deshalb
> wird wahrscheinlich einiges zu verbessern sein.
>
Nö eigentlich war nicht viel zu verbessern.
> Vielleicht passt das nicht hierher, aber heute war
> mündliche Prüfung, und obwohl wir in der Schule bis jetzt
> nur die Potenzregel, Summenregel und die Faktorenregel
> gemacht haben habe ich in der Aufregung dumme Fehler
> gemacht z.B f(x) = [mm]x^3-x[/mm] ich schreibe [mm]2x^2-1.[/mm] Weil mich
> das besonders geärgert hat möchte ich dich fragen wie man
> solchen Fehlern ein Ende macht? Oder passiert sowas jeden?
> Eigentlich habe ich jetzt viel Übung und sowas ist mir
> zuhause noch nie passiert.
>
Hmm alsi ich kann davon ein Lied singen...Ich mache auch viele Flüchtigkeitsfehler. Ich denke wenn man für [mm] \\x^{3} [/mm] als Ableitung [mm] 2x^{2} [/mm] schreibst ist das zwar falsch aber kein Weltuntergang. Schlimm wird es nur wenn man von seinem Ergebnis überzeugt ist auch wenn es falsch ist. Und wie sagt man. Durch Fehler lernt man. Aber das was du gerade beschrieben hast sind wirklich nur kl. Flüchtigkeitsfehler und wer meint dass er/sie solche Fehler nicht macht dann lügt er/sie. Also keine Gedanken machen 
> Jedenfalls danke ich dir für die Hilfe!
>
Bitte! 
> Grüße
>
> Angelika
>
>
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo Tyskie!
Danke für deine aufmunternden Worte und die Korrektur!
Ich habe mir auch gleich Gedanken zum Thema Sattelpunkt gemacht, und habe im Internet herausgefunden, dass beim Sattelpunkt im Gegensatz zum Extremwert die 2. Ableitung 0 ergibt.
Das heißt für Aufabe f):
(0;0) ist kein Minima sondern ein Sattelpunkt, oder?
Und beim Wendepunkt habe ich mich verrechnet, meine neue Überlegung wäre:
W.([mm] \bruch{4}{6} [/mm];-0,049)
Konvex x>[mm] \bruch{4}{6} [/mm]
Konkav x<[mm] \bruch{4}{6} [/mm]
Stimmt es nun?
Auch bei b) habe ich mich verrrechnet, kann es sein, dass hier das Minimum (0;0) ist? Was stimmt eigentlich beim Maximum nicht?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
Angelika
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Hi Angelika,
> Hallo Tyskie!
>
> Danke für deine aufmunternden Worte und die Korrektur!
>
> Ich habe mir auch gleich Gedanken zum Thema Sattelpunkt
> gemacht, und habe im Internet herausgefunden, dass beim
> Sattelpunkt im Gegensatz zum Extremwert die 2. Ableitung 0
> ergibt.
>
> Das heißt für Aufabe f):
>
> (0;0) ist kein Minima sondern ein Sattelpunkt, oder?
>
Ja genau
> Und beim Wendepunkt habe ich mich verrechnet, meine neue
> Überlegung wäre:
> W.([mm] \bruch{4}{6} [/mm];-0,049)
> Konvex x>[mm] \bruch{4}{6}[/mm]
>
Irgendwas stimmt da nicht. wenn ich die zweite ableitung 0 setze dann bekomme ich kandidaten für einen wendepunkt und zwar [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{2}{3}. [/mm] Also dann haben wir doch einen Wendepunkt in 0/0 also keinen Sattelpunkt. Ich dachte das wäre einer weil ich mir den graph zeichnen haben lasse und es so aussah. Der zweite Wendepunkt ist dann bei [mm] \bruch{2}{3}/-0,1. [/mm] Also passt alles was du geschrieben hast.
> Konkav x<[mm] \bruch{4}{6}[/mm]
>
> Stimmt es nun?
>
>
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Auch bei b) habe ich mich verrrechnet, kann es sein, dass
> hier das Minimum (0;0) ist? Was stimmt eigentlich beim
> Maximum nicht?
>
Minimum ist nun richtig. Deine Max ist falsch. Ich bekomme da nämlich -3/4,5
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
Gerne
> Gruß
>
> Angelika
Gruß
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Hallo Tyskie!
Danke dir für die Korrektur! Bei b) verstehe ich absolut nicht was ich falsch gemacht habe. Vielleicht gehe ich komplett falsch vor. Deshalb schreibe ich am besten den ganzen Lösungsweg auf:
[mm] f'(x) = x^2+3x [/mm]
[mm] 0 = x^2+3x [/mm]
[mm]x_1_,_2= \bruch{-3+-\wurzel{9-4*1*0}}{1} [/mm] =
[mm]x_1_,_2= \bruch{-3+-3}{1} [/mm]
[mm] x_1=-6 [/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
So komme ich auf die x-Werte für die Extrempunkte, danach setze ich in die Funktion ein und erhalte die y-Werte.
Was mache ich falsch?
Jetz habe ich noch eine Idee! Braucht man hier die Mitternachtsformel gar nicht und kann ausklammern?
x(x+3)=0
[mm] x_1= [/mm] 0
[mm] x_2 [/mm] = -3
So komme ich auf dein Ergebniss. Darf man in diesem Fall diese Formel gar nicht anwenden?
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Do 22.05.2008 | | Autor: | argl |
Du musst bei der Verwendung von Formeln (wie Mitternachtsformel, p-q-Formel, u.s.w.) stets beachten, ob die Funktion/Gleichung, die du berechnen willst auch wirklich die notwendige Ausgangsform erfüllt. Du darfst z.B. auch nicht ohne weiteres bei einer Funktion der Form
$f(x) = [mm] -ax^2 [/mm] + bx + c$
die p-q-Formel anwenden, da du hier die falschen Ergebnisse erhältst. In diesem Fall müsstest du vorher in der ganzen Funktion die Vorzeichen ändern, d.h. mit dem Faktor $(-1)$ multiplizieren, so dass sich dann eine Funktion der Form
$f(x) = [mm] ax^2 [/mm] - bx - c$
ergeben würde (eine Subtraktion lässt sich als Addition mit einer negativen Zahl interpretieren, daher lässt sich die Formel nun anwenden).
Teilst du nun noch die Funktion durch den Faktor vor dem a-Parameter, so kannst du die p-q-Formel verwenden, anderenfalls verwendest du die a-b-c-Formel.
Nur mal so als kleine Info am Rande, passieren mir auch öfter Fehler. :-/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Do 22.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo argl,
>
> In der vorliegenden Aufgabe hast du die
> Mitternachtsformel/a-b-c-Formel angewendet, dies ist
> allerdings nicht möglich, da die Funktion keinen, für die
> Anwendung dieser Formel nötigen, c-Parameter besitzt.
>
Das ist so nicht richtig! Bei der vorliegenden Aufgabe kann man schon die Mitternachtformel, oder auch unter dem Namen [mm] \\abc-Formel [/mm] bekannt, verwenden. Dann ist [mm] \\a=1, \\b=3 [/mm] und [mm] \\c=0. [/mm] Und man erhält die richtigen Ergebnisse. Aufpassen muss man nur bei der Umkehrung. Wenn man eine Funktion der Form [mm] \\f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] hat dann kann man nicht die [mm] \\p-q \\Formel [/mm] benutzen. Es sei denn man teilt durch [mm] \\a. [/mm] Aber man kann immer bedenkenlos die [mm] \\Mitternachtsformel [/mm] verwenden.
> Nur mal so als kleine Info am Rande, passieren mir auch
> öfter Fehler. :-/
Gruß
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