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Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT)
Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:00 So 18.09.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Man bestimme den ganzzahligen Teil von [mm] $\summe_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt{k}}$. [/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Do 29.09.2005
Autor: Mathe_Alex

hmm....schwierig. Gib mir mal einen Tipp, wie das zu lösen ist:

der Anteil ist auf jeden Fall größer als 1000* [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1000}}, [/mm] was ungefähr 31 wäre.

Ich hab ihn mal ausgerechnet mit einem Programm und festgestellt, dass er sogar fast doppelt so groß ist. Nur warum.....

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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 15:21 Fr 30.09.2005
Autor: Christian

Hallo.

Man sollte die Abschätzungen vielleicht doch was schärfer nehmen...
Statt "korrekt" aufzusumieren nehmen wir einfach die Reihenwerte, bei denen wir gerade Quadratzahlen für k haben und schätzen mal damit ab:
(sei $S_$ der gesuchte Reihenwert)
Dann haben wir [mm] $S:=\sum^{1000}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{k}}<\sum_{j=2}^{31}(j^2-(j-1)^2)\frac{1}{\sqrt{(j-1)^2}}+(1000-31^2)*\frac{1}{31}=\sum_{j=1}^{30}(2+\frac{1}{j})+\frac{39}{31}$ [/mm]

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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Lösungsvorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Sa 01.10.2005
Autor: ZetaX

Hallo,

solche Aufgaben kann man allgemein mit Integralen angehen:
Sei $f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}$ [/mm] und somit monoton fallend. Sei weiter $s= [mm] \summe_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt{k}}$ [/mm] die gegebene Summe.

Nun ist $s$ Obersumme von [mm] $i=\integral_{1}^{1001} [/mm] {f(x) dx}$ und [mm] s-1+\bruch{1}{\wurzel{1001}} [/mm] Untersumme von selbigem.
Also ist
$s >= i$
und
$s < i +1$
(somit kann man aus $i$ bereits den ganzzahligen Anteil von $s$ schnell ermitteln, da $s$ auf ein Intervall der Länge $1$ eingeschränkt ist)

Nun wertet sich das Integral aus zu $i=2 [mm] \wurzel{1001}-2$, [/mm] also $61<i<62$, und mit obigen Ungleichungen erhält man $62$ als ganzzahligen Anteil von $s$

Grüße,
Daniel

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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:17 Mo 03.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Daniel!

Das ist perfekt gelöst und ebenso aufgeschrieben. [daumenhoch]

Gehe ich recht in der Annahme, dass du schon häufiger und vor allem sehr erfolgreich an Mathe-Wettbewerben teilgenommen hast? :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT): Okay, okay... :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:34 Mo 03.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Daniel!

Google hat es mir bestätigt:

Herzlichen Glückwunsch zur Silbermedaille bei der diesjährigen IMO! Unglaublich!! [respekt][respekt][respekt]

Ich hoffe du bleibst dem Matheraum treu! :-) Wir haben da so ein paar ältere Wettbewerbsaufgaben, die noch ungelöst sind... Willst du nicht mal... :-) Einfach scrollen...

Liebe Grüße
Stefan

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