Aufgabe für Lea < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Do 15.05.2003 | | Autor: | Stefan |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P(-3;5;3) sowie die Geraden g und h durch
g : x = (0 3 1) + r * (-1 1 0,5)
und
h : x = (-2 2 -1) + s * (0,5 -0,5 2)
gegeben.
a) Weisen Sie nach, dass der Punkt nicht auf der Geraden g liegt. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, die durch den Punkt P und die Gerade g festgelegt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind und ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander verlaufen.
c) Die Gerade h durchstößt die Ebene E (aus Teilaufgabe a)) im Punkt D. Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D!
d) Eine Gerade k verläuft durch den Punkt P und schneidet die Gerade g im Punkt S(-2;5;2). Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden k und g!
e) Gegeben ist der Punkt Q(-8/3; 17/3; 7/3). Zeigen Sie, dass das Dreieck PQS gleichschenklig und rechtwinklig ist!
f) Parallel zu der Strecke PQ verläuft durch den Punkt S die Gerade t. Geben Sie für t eine Gleichung an! Für welche Punkte U und V auf der Geraden t beträgt der Flächeninhalt der Trapeze PQSU und PQVS jeweils 2 FE? Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte U und V!
Viel Spaß!!
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 15.05.2003 | | Autor: | Lea |
Hallo Marc,
das wäre ganz toll wenn du dir das anschaust!!!!
Ich schreibe morgen nicht nur irgendeine Klausur sondern Matheabi. *zitter*
a)
-3=-r =>r=3
5=3+r =>r=2
3=1+0,5r =>r=4
d.h P nicht E g
E:x=0/3/1)+r(-1/1/0,5)+s(-3/2/2)
b)
-r=-2+0,5s
3+r=2-0,5s
1+0,5r=-1+2s
s=2/3
r=-1 1/3
s und r in 1.
1 1/3 un=-1 2/3
Die Geraden sind also windschief
Die Richtungsvektore verlaufen zueinander orthogonal da gilt:
(-1/1/0,5)*(0,5/-0,5/2)=0
c)
Normalenform der Ebene x+0,5y+z=2,5
h in E:
x=-2+0,5s
y=2-0,5s
z=-1+2s
-2+0,5s+0,5(2-0,5s)-1+2s=2,5
s=2
s in g, => D(-1/1/3)
d)
k:x=(-2/5/2)+t(-1/0/1)
cos(alpha)=|(1,5)/(w(2) *1,5)| => alpha=45°
e) PQ=(1/3 / 2/3 / -2/3) => |PQ|=1
QS=(2/3 / -2/3 / -1/3) =>|QS|=1
SP=(-1/0/1)
das Dreieck ist gleichschenklig da gilt: |PQ|=|QS| und ist rechtwinklig da gilt: PQ*QS=0
f) t:x=(-2/5/2)+r(1/3 / 2/3 / -2/3)
Abgesehen davon dass ich eine Formel für den Flächeninhalt eines Trapez kenne, wüsste ich glaube ich auch sonst nicht wie das geht.
Viele Grüße,
Lea
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Do 15.05.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Lea,
Lea schrieb:
> Ich schreibe morgen nicht nur irgendeine Klausur sondern
> Matheabi. *zitter*
Achso, ja dann ist alles klar 
> a)
>
> -3=-r =>r=3
> 5=3+r =>r=2
> 3=1+0,5r =>r=4
>
> d.h P nicht E g
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> E:x=0/3/1)+r(-1/1/0,5)+s(-3/2/2)
, der zweite Richtungsvektor ist die Vektor-Differenz von 0P und dem Stützvektor der Geraden g.
> b)
> -r=-2+0,5s
> 3+r=2-0,5s
> 1+0,5r=-1+2s
>
> s=2/3
> r=-1 1/3
>
> s und r in 1.
> 1 1/3 un=-1 2/3
> Die Geraden sind also windschief
> Die Richtungsvektore verlaufen zueinander orthogonal da gilt:
> (-1/1/0,5)*(0,5/-0,5/2)=0
> c)
> Normalenform der Ebene x+0,5y+z=2,5
> h in E:
> x=-2+0,5s
> y=2-0,5s
> z=-1+2s
>
> -2+0,5s+0,5(2-0,5s)-1+2s=2,5
> s=2
> s in g, => D(-1/1/3)
, aber du hast natürlich in h eingesetzt
> d)
> k:x=(-2/5/2)+t(-1/0/1)
(hier hätte nur der Richtungsvektor der Geraden genügt, aber so ist es ja kaum mehr Aufwand)
> cos(alpha)=|(1,5)/(w(2) *1,5)| => alpha=45°
> e) PQ=(1/3 / 2/3 / -2/3) => |PQ|=1
> QS=(2/3 / -2/3 / -1/3) =>|QS|=1
> SP=(-1/0/1)
>
> das Dreieck ist gleichschenklig da gilt: |PQ|=|QS| und ist
> rechtwinklig da gilt: PQ*QS=0
> f) t:x=(-2/5/2)+r(1/3 / 2/3 / -2/3)
> Abgesehen davon dass ich eine Formel für den Flächeninhalt
> eines Trapez kenne, wüsste ich glaube ich auch sonst nicht wie
> das geht.
Diese Formel mußt du auch benutzen, ich nehme an, du meinst diese Formel:
A = (a+c) * h / 2
Die beiden parallelen Seiten a und c in den beiden Trapezen sind c=PQ und a=SU bzw. a=VS.
Die Höhe des Trapezes ist ziemlich einfach zu berechnen, siehe Teilaufgabe e)
Der Ansatz ist nun folgender: Wir wählen einen Punkt U, so dass er einmal auf der Geraden t liegt und zum anderen die Strecke SU (bzw. US) genau so lang macht, dass der Flächeninhalt des Trapezes 2 FE beträgt.
Die erste Bedingung (U auf t) ist leicht zu erfüllen:
u = (-2; 5; 2)+r(1/3; 2/3; -2/3)
Für die zweite Bedinung berechne erst mal, wie lang die Strecke a = SU sein muß, mit diesem Ansatz:
2 = (|PQ| + a) * h /2
<=> a = ...
Jetzt muss du nur noch die Gleichung |SU| = a (mit dem u aus obiger Gleichung) nach r auflösen; zu erwarten sind zwei Lösungen.
Versuch's doch noch mal, du kannst ja wieder nachfragen. Insgesamt scheinst du doch mit der Aufgabe souverän klargekommen zu sein, finde ich gut
Bis gleich hoffentlich,
Marc
Nachricht bearbeitet (05-15-03 14:05)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Do 15.05.2003 | | Autor: | Lea |
Hallo Marc,
stimmt, eigentlich ist das ja ganz einfach.
Für a hab ich 3 raus, somit ist die Gleichung:
3=w[(r*1/3)²+(r*2/3)²+(r*2/3)²]
3=w[1/9 r²+4/9 r²+4/9 r²]
3=w[r²]
r1=3
r2=-3
u=(-2/5/2)+3(1/3 / 2/3 / -2/3)
U(-1/7/0)
v=(-2/5/2)-3(1/3 / 2/3 / -2/3)
V=(-3/3/4)
Stimmt das????????
Viele Grüße und danke für deine Hilfe,
Lea
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Do 15.05.2003 | | Autor: | Lea |
Hallo Marc,
danke für deine Hilfe.
jetzt ärger ich mich nur dass ich da nicht von selbst drauf gekommen bin.
Viele Grüße,
Lea
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