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Aufgabe zu Skalarprodukt: Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:54 So 20/12/2015
Author: Stala

Aufgabe
Sei [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] eine basis eines Euklidischen Vektorraums V mit Skalarprodukt <,>. Beweisen Sie: Für jede Wahl von Skalaren [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] existiert ein eindeutig bestimmter Vekor w [mm] \in [/mm] V mit [mm] =r_{i} [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n

Hallo,

bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht so recht weiter. Einfach wäre die Sache ja, wenn meine Basis eine Orthonormalbasis [mm] U=(u_{1}...u_{n}) [/mm] wäre. Dann ist

[mm] z=\summe_{i=1}^{n} r_{i}*u_{i} [/mm]

und [mm] =(u_{i})^{T}*r_{i}*u_{i}=r_{i} [/mm]

Meine Idee war nun eine Abbildung f zu definieren, die die Basisvektoren meiner Orthonormalbasis U auf eine beliebige Basis [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] abbildet.
[mm] f(u_{i})=v_{i} [/mm]

[mm] = [/mm]

Könnte ich jetzt irgendwie zeigen, dass meine Abbildung orthogonal ist, wäre ich ja fertig. [mm] == [/mm] Nur wird sie das doch leider eher nicht sein, oder?

Außerdem hab ich noch keine Idee, wie ich die Eindeutigkeit von w schlussfolgern kann... aber das erschließt sich vielleicht auch erst, wenn man den ersten Teil gelöst hat...

Für nen Anschubser wäre ich dankbar :)
(Oder jemand der sagt, dass das so totaler Unsinn ist^^)



        
Bezug
Aufgabe zu Skalarprodukt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:05 So 20/12/2015
Author: hippias


> Sei [mm](v_{1}...v_{n})[/mm] eine basis eines Euklidischen
> Vektorraums V mit Skalarprodukt <,>. Beweisen Sie: Für
> jede Wahl von Skalaren [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] existiert ein
> eindeutig bestimmter Vekor w [mm]\in[/mm] V mit [mm]=r_{i}[/mm] für
> alle [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
>  Hallo,
>  
> bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht so recht
> weiter. Einfach wäre die Sache ja, wenn meine Basis eine
> Orthonormalbasis [mm]U=(u_{1}...u_{n})[/mm] wäre. Dann ist
>  
> [mm]z=\summe_{i=1}^{n} r_{i}*u_{i}[/mm]
>  
> und [mm]=(u_{i})^{T}*r_{i}*u_{i}=r_{i}[/mm]
>  
> Meine Idee war nun eine Abbildung f zu definieren, die die
> Basisvektoren meiner Orthonormalbasis U auf eine beliebige
> Basis [mm](v_{1}...v_{n})[/mm] abbildet.
> [mm]f(u_{i})=v_{i}[/mm]
>  
> [mm]=[/mm]
>  
> Könnte ich jetzt irgendwie zeigen, dass meine Abbildung
> orthogonal ist, wäre ich ja fertig.
> [mm]==[/mm] Nur wird sie das doch
> leider eher nicht sein, oder?

Richtig, wenn die [mm] $v_{i}$ [/mm] keine ONB bilden, dann ist auch $f$ nicht orthogonal.

Vielleicht kannst Du etwas mit einer Abbildung [mm] $f:V\to \IR^{n}$, $w\mapsto ()_{i=1}^{n}$ [/mm] anfangen?

>  
> Außerdem hab ich noch keine Idee, wie ich die
> Eindeutigkeit von w schlussfolgern kann... aber das
> erschließt sich vielleicht auch erst, wenn man den ersten
> Teil gelöst hat...
>  
> Für nen Anschubser wäre ich dankbar :)
>  (Oder jemand der sagt, dass das so totaler Unsinn ist^^)
>  
>  


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Aufgabe zu Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:50 So 20/12/2015
Author: Stala

Du hast die Abbildung f
$ [mm] f:V\to \IR^{n} [/mm] $, $ [mm] w\mapsto ()_{i=1}^{n} [/mm] $

als Abbildung zwischen zwei Vektorräumen dergleichen Dimension definiert. Die beiden Vektorräume sind also isomoprh. Und im Vektorraum [mm] \IR^{n} [/mm] kann man wie in der Aufgabenstellung genannt jede Wahl von Skalaren [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] als Vektor darstellen. Wenn die Abbildung f nun bijektiv ist, kann jeder Wahl von Skalaren einen eindeutiger Vekor w zugeordnet werden, richtig?

Um die Bijektivität zu zeigen, genügt es ja zu beweisen dass Kern(f)=0 ist.

Also:
Angenommen es gibt einen Vektor w, sodass f(w)=0. Dann müsste gelten, dass
[mm] =0 [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. Das bedeutet, dass der Vektor w orthogonal zu allen Basisvektoren ist und somit von diesen linear unabhängig. Ein Widerspruch, da dann [mm] v_{1}...v_{n} [/mm] keine Basis wäre. Folglich ist Kern(f)=0, f also injektiv, damit auch surjektiv und damit bijektiv.

Ist das richtig so?

Bezug
                        
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Aufgabe zu Skalarprodukt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:59 Mo 21/12/2015
Author: fred97


> Du hast die Abbildung f
>  [mm]f:V\to \IR^{n} [/mm], [mm]w\mapsto ()_{i=1}^{n}[/mm]
>  
> als Abbildung zwischen zwei Vektorräumen dergleichen
> Dimension definiert. Die beiden Vektorräume sind also
> isomoprh.


Dazu ist noch zu zeigen, dass f linear und bijektiv ist.



>  Und im Vektorraum [mm]\IR^{n}[/mm] kann man wie in der
> Aufgabenstellung genannt jede Wahl von Skalaren
> [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] als Vektor darstellen. Wenn die Abbildung f
> nun bijektiv ist, kann jeder Wahl von Skalaren einen
> eindeutiger Vekor w zugeordnet werden, richtig?

Ja


>  
> Um die Bijektivität zu zeigen, genügt es ja zu beweisen
> dass Kern(f)=0 ist.

Ja


>  
> Also:
>  Angenommen es gibt einen Vektor w, sodass f(w)=0. Dann
> müsste gelten, dass
>  [mm]=0[/mm] für alle [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n. Das bedeutet, dass der
> Vektor w orthogonal zu allen Basisvektoren ist und somit
> von diesen linear unabhängig.

Das kannst Du nur sagen, wenn w [mm] \ne [/mm] 0 ist.



> Ein Widerspruch, da dann
> [mm]v_{1}...v_{n}[/mm] keine Basis wäre. Folglich ist Kern(f)=0, f
> also injektiv, damit auch surjektiv und damit bijektiv.
>  
> Ist das richtig so?

Ja, im wesentlichen schon. Nimm also an: w [mm] \in [/mm] Kern(f) und w [mm] \ne [/mm] 0. Dann bekommst Du:

    w, [mm] v_1, [/mm] ...., [mm] v_n [/mm] sind linear unabhängig,

also dimV >n, Widerspruch.

FRED


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Aufgabe zu Skalarprodukt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:26 Mo 21/12/2015
Author: hippias

Hier noch eine Variante, die sich vielleicht eher Deiner ursprünglichen Idee gleicht. Betrachte die Hyperebenen [mm] $U_{i}:= \sum_{j\neq i} \IR v_{j}$. [/mm] Dann gibt es [mm] $w_{i}\in U_{i}^{\perp}$ [/mm] so, dass [mm] $=r_{i}$. [/mm] $w:= [mm] \sum_{i=1}^{n} w_{i}$ [/mm] liefert das gewünschte.

Anmerkung: Habe [mm] $v_{i}$ [/mm] zu [mm] $v_{j}$ [/mm] korrigiert.

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Aufgabe zu Skalarprodukt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:55 Mo 21/12/2015
Author: fred97

Es geht auch so: setze



    $A := [mm] \begin{pmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_1, v_n \rangle \\ \vdots & & \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_n, v_n \rangle \end{pmatrix} [/mm] $

Dann ist $A$ symmetrisch und positiv definit, insbesondere ist $A$ invertierbar.

Seien nun $ [mm] (r_{1},...,r_{n})^T \in \IR^n [/mm] $.

Gesucht: $w [mm] \in [/mm] V$ mit

    [mm] $\langle v_i, [/mm] w [mm] \rangle =r_i$ [/mm]  für $i=1,...,n$.

Wenn es ein solches $w$ gibt, so gibt es eindeutig bestimmte  $ [mm] x_{1},...,x_{n} \in \IR [/mm] $ mit

   [mm] $w=\summe_{j=1}^{n}x_jv_j$. [/mm]

Es folgt:

   [mm] $r_i=\summe_{j=1}^{n}x_j$. [/mm]

Setzt man [mm] $r=(r_1,...,r_n)^T$ [/mm] und [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T$, [/mm] so bedeutet dies: $x$ ist Lösung des LGS

     $Ax=r$.

Das bedeutet: [mm] $x=A^{-1}r$. [/mm]

FAZIT: ist [mm] $r=(r_1,...,r_n)^T$ [/mm] gegeben, so setze

     [mm] $x=A^{-1}r$. [/mm]

Sind dann [mm] x_1,...,x_n [/mm] die Komponenten von $x$, so leistet

      [mm] $w:=\summe_{j=1}^{n}x_jv_j$ [/mm]

das Verlangte. Die Eindeutigkeit von $w$ bekommt man aus der Invertierbarkeit von $A$.

FRED

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Aufgabe zu Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:09 Mo 21/12/2015
Author: Thomas_Aut

Hallo Großmeister Fred :)

Eine wirklich schöne Variante.


Lg

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Aufgabe zu Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:11 Mo 21/12/2015
Author: fred97

Hallo Thomas,



> Hallo Großmeister Fred :)

.... jetzt werde ich rot wie ein gekochter Hummer ....


>  
> Eine wirklich schöne Variante.

Danke.

Gruß FRED

>  
>
> Lg  


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Aufgabe zu Skalarprodukt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:26 Mo 21/12/2015
Author: hippias

Geht auch: [mm] $w\mapsto [/mm] <.,w>$ ist ein Isomorphismus zwischen $V$ und dem Dualraum. Und natuerlich gibt es ein lineares Funktional, das [mm] $v_{i}$ [/mm] auf [mm] $r_{i}$ [/mm] abbildet.

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Aufgabe zu Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:13 Mo 21/12/2015
Author: Stala

Oh vielen Dank, nun habe ich ja gleich 4 LÖsungsmöglichkeiten ;)

Ich bleibe bei der ersten, das mit Linearität von f ist schnell gezeigt und [mm] w\not=0 [/mm] hatte ich mir auch überlegt, nur nicht aufgeschrieben.

Vielen Dank!

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