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Aufgabe zum Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 16.01.2016
Autor: Twixi

Aufgabe
Seien f,g:[a,b] [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig mit g(x) [mm] \geq [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [a,b] sowie [mm] \phi: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow [/mm] [a,b] messbar gegeben. Zeige: Es existiert ein z [mm] \in [/mm] [a,b], so dass [mm] \int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x [/mm] = f(z) [mm] \int_a^b \! [/mm] g(x) [mm] \, \mathrm{d}x. [/mm]

Hallo an alle,

ich würde gerne obige Aufgabe lösen, leider fällt mir dies etwas schwer und ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
Es sieht ganz danach aus, als müsse ich hier den Zwischenwertsatz anwenden, jedoch ist mir nicht wirklich klar, wie der Beweis genau aussehen soll.

Danke im Voraus

        
Bezug
Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Sa 16.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Aussage ist äquivalent zu:

Es existiert ein [mm] $z\in[a,b]$, [/mm] so dass [mm] $\int_a^b \left(f(\phi(x)) - f(z)\right)g(x)\,dx [/mm] = 0$

Nun ist $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$
Zeige also: Es existiert ein [mm] $z_1\in [/mm] [a,b]$, so dass [mm] $f(\phi(x)) [/mm] - [mm] f(z_1) \le [/mm] 0$ für [mm] $x\in [/mm] [a,b]$ und es existiert ein [mm] $z_2\in [/mm] [a,b]$ so dass  [mm] $f(\phi(x)) [/mm] - [mm] f(z_1) \ge [/mm] 0$ für [mm] $x\in [/mm] [a,b]$.

Was folgt daraus für das Integral?

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 So 17.01.2016
Autor: fred97


> Seien f,g:[a,b] [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] stetig mit g(x) [mm]\geq[/mm]
> 0 für x [mm]\in[/mm] [a,b] sowie [mm]\phi:[/mm] [a,b] [mm]\rightarrow[/mm] [a,b]
> messbar gegeben. Zeige: Es existiert ein z [mm]\in[/mm] [a,b], so
> dass [mm]\int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x[/mm] = f(z)
> [mm]\int_a^b \![/mm] g(x) [mm]\, \mathrm{d}x.[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> ich würde gerne obige Aufgabe lösen, leider fällt mir
> dies etwas schwer und ich hoffe, es kann mir jemand
> weiterhelfen.
>  Es sieht ganz danach aus, als müsse ich hier den
> Zwischenwertsatz anwenden, jedoch ist mir nicht wirklich
> klar, wie der Beweis genau aussehen soll.
>  
> Danke im Voraus


Sei $m:= [mm] \min \{f(t):t \in [a,b]\}$ [/mm]  und $ M:= [mm] \max \{f(t):t \in [a,b]\}$. [/mm] Dann haben wir

   $m [mm] \le f(\phi(x)) \le [/mm] M$ für alle x [mm] \in [/mm] [a,b],

also auch

   $m g(x) [mm] \le f(\phi(x)) [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] M g(x)$ für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].

Setzen wir $ [mm] A:=\int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x [/mm] $ und $ [mm] B:=\int_a^b \! [/mm] g(x) [mm] \, \mathrm{d}x [/mm] $, so folgt

(*)  $m *B [mm] \le [/mm] A [mm] \le [/mm] M*B$.

(Warum ?)

Ist B=0, so sind wir fertig. Sei also B [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist B>0 (warum ?) und aus (*) folgt

    $m [mm] \le \bruch{A}{B} \le [/mm] M$

Jetzt Du.

FRED

Bezug
                
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Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 17.01.2016
Autor: Twixi

Hallo Fred,

vielen Dank für deine super Antwort.
Zum 1. Warum: Die Ungleichung bleibt bei Betrachtung des Integrals der Funktionen auf dem Intervall [a,b] erhalten, richtig?
Zum 2. Warum: aus [mm] g(x)\ne [/mm] 0 folgt g(x)>0 folgt [mm] \int_a^b \! g(x)\,\mathrm{d}x>0, [/mm] richtig?

Eine Frage habe ich noch zur letzten Ungleichung: folgt aus $ m [mm] \le \bruch{A}{B} \le [/mm] M $, dass ein [mm] z\in[a,b] [/mm] existiert, so dass die zu zeigende Gleichung gilt, also quasi A=f(z)*B?

Lieben Dank auch an Gonozal_IX :)

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 17.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Eine Frage habe ich noch zur letzten Ungleichung: folgt aus
> [mm]m \le \bruch{A}{B} \le M [/mm], dass ein [mm]z\in[a,b][/mm] existiert, so
> dass die zu zeigende Gleichung gilt, also quasi A=f(z)*B?

das ist ja gerade die zu zeigende Aussage.....

Was war nochmal m?
Was war nochmal M?

Was weißt du über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen bezüglich m und M?

Was liefert dann der Zwischenwertsatz?

Gruß,
Gono

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Bezug
Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 So 17.01.2016
Autor: Twixi

m war das Minimum, M das Maximum. Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen ihr Maximum/Minimum an.
Der Zwischenwertsatz sagt, dass jeder Wert dazwischen angenommen wird.
Damit ist dann gezeigt, dass so ein z existiert?!

Bezug
                                        
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Aufgabe zum Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 Mo 18.01.2016
Autor: fred97


> m war das Minimum, M das Maximum. Stetige Funktionen nehmen
> auf kompakten Intervallen ihr Maximum/Minimum an.
>  Der Zwischenwertsatz sagt, dass jeder Wert dazwischen
> angenommen wird.
>  Damit ist dann gezeigt, dass so ein z existiert?!


Ja

Fred

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