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Forum "Differenzialrechnung" - Aufgabe zur vollst. Induktion
Aufgabe zur vollst. Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe zur vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Sa 02.10.2004
Autor: Meli

Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.


Hallo Matheraum-Team,
Ich benötige bei folgender Aufgabe eure Hilfe.


Zeigen sie durch vollständige Induktion für n größer-gleich 1    und   x ungleich 1, dass gilt:

[mm] (x^{n+1} [/mm]  - 1) : (x – 1) = 1 + x +  [mm] x^{2} [/mm] + ... + [mm] x^{n} [/mm]  .


Ich habe bisher:

Ind.anfang:
   n = 1                     x + 1 = x + 1    (somit bewiesen)

Ind.annahme:
   Behauptung gilt für n = k
   [mm] x_{k} [/mm] = 1 + x+ ... + [mm] x^{k} [/mm] + [mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] (x^{k+1} [/mm] – 1) : (x –1)

Ind.schritt:
   z.z. Behauptung gilt für k + 1
    [mm] x_{k+1} [/mm] =  ....       Jetzt komm ich einfach nicht weiter.

???Stimmt das soweit überhaupt???
Fände es echt toll, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank schon mal im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
Meli


        
Bezug
Aufgabe zur vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Sa 02.10.2004
Autor: Clemens

Hallo meli!

> Ich habe bisher:
>  
> Ind.anfang:
>     n = 1                     x + 1 = x + 1    (somit
> bewiesen)

Das muss man noch ein bisschen ausführlicher hinschreiben. Für n = 1 gilt die Aussage:
[mm] \bruch{x^{1+1} - 1}{x - 1} [/mm] = [mm] x^{1} [/mm] + 1
denn:
(x + 1)(x - 1) = [mm] x^{2} [/mm] - 1

> Ind.annahme:
>     Behauptung gilt für n = k
>     [mm]x_{k}[/mm] = 1 + x+ ... + [mm]x^{k}[/mm] + [mm]x^{k+1}[/mm] = [mm](x^{k+1}[/mm] – 1) :
> (x –1)
>  
> Ind.schritt:
>     z.z. Behauptung gilt für k + 1
>      [mm]x_{k+1}[/mm] =  ....       Jetzt komm ich einfach nicht
> weiter.

Was meinst du, wenn du x indizierst: [mm] x_{k}, x_{k+1} [/mm] ???

Ich würde das Ganze folgendermaßen lösen:
Stimme die Aussage für n = k, also
[mm] \bruch{x^{k+1} - 1}{x - 1} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] + ... + 1

Dann gilt für n = k + 1:
[mm] \bruch{x^{k+2} - 1}{x - 1} [/mm]
[mm] =\bruch{x^{k+2} - x^{k+1} + x^{k+1} - 1}{x - 1} [/mm]
[mm] =\bruch{x^{k+2} - x^{k+1}}{x - 1} [/mm] + [mm] \bruch{x^{k+1} - 1}{x - 1} [/mm]
[mm] =x^{k+1} [/mm] + [mm] x^{k} [/mm] + ... + 1

Bei dem letzten Schritt mache ich Gebrauch von der Induktionsannahme.

Gruß Clemens

P.S. Für diesen Beitrag gilt x [mm] \not= [/mm] 1


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