matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperAufgaben endliche Körper
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Aufgaben endliche Körper
Aufgaben endliche Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgaben endliche Körper: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:31 Do 22.09.2016
Autor: Wurstus

Aufgabe
A1: Kalkulieren Sie die normierten, irreduziblen Polynome vierten Grades in [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$. [/mm]

A2: Sei [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] ein Körper mit $q$ Elementen und $n$ eine positive, ganze Zahl. Zeigen Sie, dass in [mm] $\mathbb{F}[x]$ [/mm] ein irreduzibles Polynom mit Grad $n$ existiert.

Zu der ersten Aufgabe wäre meine Endergebnis: Die  irreduziblen Polynome vierten Grades sind also [mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] x^4+x^3+x^2+x+1$,\quad $f_2(x)=x^4+x^3+1$,\quad $f_3(x)=x^4+x^2+x$ \quad [/mm] und [mm] \quad $f_4(x)=x^4+x+1$. [/mm]

Zur zweiten Aufgabe: Nach Satz 2.12 ist bekannt, dass jeder endliche Körper [mm] $p^n$ [/mm] Elemente besitzt, wobei $p$ eine beliebige Primzahl und $n$ eine beliebige positive, ganze Zahl ist. Nach Lemma 2.11 ist bekannt, dass jeder endliche Körper einen zu [mm] $\mathbb{Z}_p$ [/mm] isomorphen Unterkörper besitzt. Also gilt dann für einen endlichen Körper [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] und der entsprechenden Primzahl $p$
[mm] $\mathbb{Z}_p[x] \subseteq \mathbb{F}[x]$. [/mm]

Aus Korollar 3.13 lässt sich nun folgern, dass in [mm] $\mathbb{Z}_p[x]$ [/mm] ein irreduzibles Polynom mit Grad $n$ existiert und damit auch in [mm] $\mathbb{F}[x]$. [/mm]  (Korollar 3.13 sagt aus das es zu jedem n ein irreduzibles Polynom mit Grad n in [mm] Z_P[x] [/mm] existiert.)

Eigenlich möchte ich nur wissen, ob die Lösungen so hinhauen oder ob ich eine Komplikation übersehen habe.

Vielen Dank schonmal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgaben endliche Körper: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 25.09.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]