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Aussagenlogik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Di 17.10.2017
Autor: DerHochpunkt

Aufgabe
Notwendige und hinreichende Bedingungen

Hallo,
ich habe eine Frage zu notwendigen und hinreichenden Bedingungen.

Meine Recherche hat ergeben:
A => B

Wenn A wahr, dann B wahr -> hinreichende Bedingung
Wenn B wahr, dann A wahr -> notwendige Bedingung

Jetzt habe ich eine Anwendungsaufgabe:
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.

A := Zahl durch 6 teilbar
B := Zahl durch 3 teilbar

Nehmen wir die Zahl 18:
A wahr und B wahr

Für die Zahl 9 gilt:
A falsch und B wahr

Es ist also nicht immer A richtig, wenn B richtig ist. Aber immer wenn A richtig ist, ist auch B richtig.

Also müsste das eine hinreichende Bedingung sein (siehe weiter oben)?

        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:19 Mi 18.10.2017
Autor: angela.h.b.


> Notwendige und hinreichende Bedingungen
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu notwendigen und hinreichenden
> Bedingungen.

Moin!

Sag immer dazu, was wofür hinreichend oder notwendig ist, dann wird die Sache viel klarer.

>

> Meine Recherche hat ergeben:
> A => B

A ist hinreichend für B.
Wenn A wahr ist, kann es nicht anders sein, als daß auch B wahr ist.
A erzwingt das Eintreten von B.


B ist notwendig für A.
Wenn A wahr ist, kann es nicht anders sein, als daß auch B wahr ist.
A erzwingt das Eintreten von B.
Klarer wird es vllt. so: wenn B nicht gilt, kann man sicher sein, daß auch A nicht gibt.
Ohne B kann man A nicht haben.

> A => B
> Wenn A wahr, dann B wahr -> hinreichende Bedingung

Wie gesagt: A ist hinreichend für B

> Wenn B wahr, dann A wahr -> notwendige Bedingung

Das stimmt nicht.
Wenn B wahr ist, muß A nicht wahr sein.
Aber wenn B nicht wahr ist, können wir sicher sein, daß auch A nicht wahr ist.


Beispiel:

Bei mir ist es so, daß ich selten mit Schirm unterwegs bin, und ich spanne den Schirm auch nur bei Regen auf.

Es gilt:

Angela ist mit aufgespanntem Schirm unterwegs ==> es regnet.

Wenn Du mich mit aufgespanntem Schirm siehst, brauchst Du das Wetter nicht mehr zu betrachten. Du weißt, daß es regnet. Mein aufgespannter Schirm ist ein hinreichender Hinweis dafür, daß es regnet.

Daß es regnet, ist notwendig dafür, daß ich meinen Schirm aufspanne.
Aber wenn Du Regen siehst, kannst Du nicht wissen, ob ich mit oder ohne aufgespannten Schirm unterwegs bin.


>

> Jetzt habe ich eine Anwendungsaufgabe:
> Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch
> durch 3 teilbar.

>

> A := Zahl durch 6 teilbar
> B := Zahl durch 3 teilbar

A ==> B

B ist notwendig für A.
Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit durch 6.
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch  3 teilbar.
Wir kriegen Teilbarkeit durch 6 nicht ohne Teilbarkeit durch 3.

A ist hinreichend für B
Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 3.
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch  3 teilbar.
Aber es gibt auch Zahlen, die durch 3 teilbar sind, ohne daß sie drch 6 teilbar sind.

>

> Nehmen wir die Zahl 18:
> A wahr und B wahr

Wir haben die 18, sehen, daß sie durch 6 teilbar ist, und wissen daraufhin, daß sie auch durch 3 teilbar ist.

Wir haben die 18, sehen daß sie durch 3 teilbar ist, und wissen daraufhin, daß die Möglichkeit besteht, daß sie auch durch 6 teilbar ist.

> Für die Zahl 9 gilt:
> A falsch und B wahr

Wir sehen die 9, sehen, daß sie durch 3 teilbar ist und wissen, daß sie auch durch 6 teilbar sein könnte.

>

> Es ist also nicht immer A richtig, wenn B richtig ist. Aber
> immer wenn A richtig ist, ist auch B richtig.

>

> Also müsste das eine hinreichende Bedingung sein (siehe
> weiter oben)?

A ist hinreichend für B.
B ist notwendig für A.


LG Angela

Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik: Weitere Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mi 18.10.2017
Autor: DerHochpunkt

Aufgabe
Bezug auf Angelas Post

Hallo Angela,
danke für deine Erläuterungen. D.h. wenn ich mir deine Erläuterungen zur Grundlage nehme,

B ist notwendig für A.
Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit durch 6.
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch  3 teilbar.
Wir kriegen Teilbarkeit durch 6 nicht ohne Teilbarkeit durch 3.

A ist hinreichend für B
Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 3.
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch  3 teilbar.
Aber es gibt auch Zahlen, die durch 3 teilbar sind, ohne daß sie drch 6 teilbar sind.


... dann gilt in Bezug auf die Aussage:

Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar. dass beides stimmt: hinreichende und notwendige Bedingung. Also

Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 3 und Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit durch 6.

?

Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Mi 18.10.2017
Autor: DerHochpunkt

Gilt dann für die Aussage:

Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

Teilbarkeit durch 36 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 6. Und Teilbarkeit durch 6 ist notwendig für Teilbarkeit durch 36?

Bezug
                                
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Gilt dann für die Aussage:

>

> Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

>

> Teilbarkeit durch 36 ist hinreichend für Teilbarkeit durch
> 6. Und Teilbarkeit durch 6 ist notwendig für Teilbarkeit
> durch 36?

Ja, das ist ja vom Prinzip her das gleiche wie in der anderen Frage.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Bezug auf Angelas Post
> Hallo Angela,
> danke für deine Erläuterungen. D.h. wenn ich mir deine
> Erläuterungen zur Grundlage nehme,

>

> B ist notwendig für A.
> Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit durch
> 6.
> Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch 3
> teilbar.
> Wir kriegen Teilbarkeit durch 6 nicht ohne Teilbarkeit
> durch 3.

>

> A ist hinreichend für B
> Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch
> 3.
> Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch 3
> teilbar.
> Aber es gibt auch Zahlen, die durch 3 teilbar sind, ohne
> daß sie drch 6 teilbar sind.

>
>

> ... dann gilt in Bezug auf die Aussage:

>

> Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch 3
> teilbar. dass beides stimmt: hinreichende und notwendige
> Bedingung. Also

>

> Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch
> 3 und Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit
> durch 6.

>

> ?

Genau! [ok]


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Aussagenlogik: Weitere Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Mi 18.10.2017
Autor: DerHochpunkt

Hallo Diophant, danke für die Rückmeldung. Dann verstehe ich nur eines nicht:

Auf der Seite

[mm] https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Notwendige_und_hinreichende_Bedingungen [/mm]

wird als Lösung für die Aussage angegeben:

Verständnisfrage: Betrachte folgende Implikationsaussagen. Welche sind notwendige und welche hinreichende Bedingungen dafür, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist?

    Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar.
    Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
    Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

Antwort:

    Die Bedingung „Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“ ist notwendig und hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.
    Die Bedingung „Die Zahl ist durch 3 teilbar“ ist notwendig für die Teilbarkeit durch 6.
    Die Bedingung „Die Zahl ist durch 36 teilbar“ ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 6 (Die Aussage kann auch so formuliert werden: „Wenn eine Zahl durch 36 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar“).

Also bei der Aussage mit der Teilbarkeit durch 3 wird nichts gesagt von einer hinreichenden Bedingung und bei der Aussage mit der Teilbarkeit durch 36 wird nichts gesagt von einer notwendigen Bedingung.



Bezug
                                        
Bezug
Aussagenlogik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mi 18.10.2017
Autor: rabilein1


> Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie
> auch durch 6 teilbar.

> Antwort:
>  
> Die Bedingung „Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“ ist notwendig und hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.

Das kann ich mir nur so erklären, dass beides auf Gegenseitigkeit beruht:
Jede Zahl, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar.
Jede Zahl, die durch 6 teilbar ist, ist sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar.


Bei den anderen Beispielen (mit 6 und 36 oder 3 und 6) gab es dagegen diese Gegenseitigkeit nicht.


Bezug
                                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant, danke für die Rückmeldung. Dann verstehe
> ich nur eines nicht:

>

> Auf der Seite

>

> [mm]https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Notwendige_und_hinreichende_Bedingungen[/mm]

>

> wird als Lösung für die Aussage angegeben:

>

> Verständnisfrage: Betrachte folgende Implikationsaussagen.
> Welche sind notwendige und welche hinreichende Bedingungen
> dafür, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist?

>

> Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie
> auch durch 6 teilbar.
> Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch
> durch 3 teilbar.
> Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

>

> Antwort:

>

> Die Bedingung „Die Zahl ist durch 2 und durch 3
> teilbar“ ist notwendig und hinreichend für die
> Teilbarkeit durch 6.
> Die Bedingung „Die Zahl ist durch 3 teilbar“ ist
> notwendig für die Teilbarkeit durch 6.
> Die Bedingung „Die Zahl ist durch 36 teilbar“ ist
> hinreichend für die Teilbarkeit durch 6 (Die Aussage kann
> auch so formuliert werden: „Wenn eine Zahl durch 36
> teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar“).

Das entspricht doch alles den bisher gegebenen Antworten.

> Also bei der Aussage mit der Teilbarkeit durch 3 wird
> nichts gesagt von einer hinreichenden Bedingung

Du solltest dir vielleicht auch einfach einmal Gedanken über die rein sprachliche Bedeutung der Eigenschaften 'notwendig' und 'hinreichend' machen. Es ist doch klar, dass eine durch 6 teilbare Zahl auch durch 3 teilbar ist. Andersherum - und das wurde jetzt schon mehrfach angesprochen - reicht es nicht aus, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, um darauf schließen zu können, dass sie auch durch 6 teilbar ist. Denn es könnte sich um eine ungerade Zahl handeln. Also ist die Teilbarkeit durch 3 nicht ausreichend für die Teilbarkeit durch 6 und dafür verwendet die Mathematik eben den etwas antiquierten* Begriff hinreichend.

> und bei der
> Aussage mit der Teilbarkeit durch 36 wird nichts gesagt von
> einer notwendigen Bedingung.

Damit man eine Zahl durch 6 teilen kann, ist es ja auch keinesfalls notwendig, dass man sie durch 36 teilen kann.


Gruß, Diophant

*In dem Zusammenang darf man nicht vergessen, dass vieles von unserem heutigen mathematischen Vokabular schon im 19. Jahrhundert oder noch früher entstanden ist.

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