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Banachraum zeigen: Heuser Ana2, 110.7
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mo 29.02.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Sei $P$ die Menge aller Funktionen $f:[-1,1] [mm] \to \mathbb{R}$, [/mm] die sich durch eine Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \alpha_{n}\lambda^{n}$ [/mm] mit konvergenter Absolutkoeffizientenreihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|$ [/mm] entwickeln lässt.

Zeige der Reihe nach:

a) Mit der punktweisen Definition von $f+g$, [mm] $\alpha [/mm] f$, $fg$ und der Norm [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |\alpha_{n}|$ [/mm] ist $P$ eine Banachalgebra.

Hallo,

ich habe bei der Aufgabe gezeigt, dass es sich bei [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel$ [/mm] tatsächlich um eine Norm handelt (Ist vielleicht nicht verlangt) und dass [mm] $\parallel [/mm] fg [mm] \parallel \le \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel$ [/mm] gilt (Über Cauchy-Produkt und Dreiecksungleichung).

Ich würde jedoch gerne auch zeigen, dass es sich bei $P$ überhaupt um einen Banachraum handelt. Also muss ich doch eine Cauchy-Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] annehmen und zeigen, dass diese konvergiert.

Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert also ein [mm] $n_0 \in \mathbb{N}$, [/mm] sodass für alle $m,n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:

[mm] $\parallel f_m [/mm] - [mm] f_n \parallel [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

Daraus erhalte ich unter Anwendung der Norm:

[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} |\alpha_{k}^{(m)} [/mm] - [mm] \alpha_{k}^{(n)}| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Wobei [mm] $\alpha_{k}^{(m)}$ [/mm] und [mm] $\alpha_{k}^{(n)}$ [/mm] die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklungen von [mm] $f_m$ [/mm] bzw. [mm] $f_n$ [/mm] sind.

Wie komme ich nun auf die Konvergenz?

Wie immr, im Vorfeld schon ein großes Dankeschön an jede Hilfe.

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Banachraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]P[/mm] die Menge aller Funktionen [mm]f:[-1,1] \to \mathbb{R}[/mm],
> die sich durch eine Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \alpha_{n}\lambda^{n}[/mm]
> mit konvergenter Absolutkoeffizientenreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|[/mm] entwickeln lässt.
>
> Zeige der Reihe nach:
>  
> a) Mit der punktweisen Definition von [mm]f+g[/mm], [mm]\alpha f[/mm], [mm]fg[/mm] und
> der Norm [mm]\parallel f \parallel := \summe_{n=0}^{\infty} |\alpha_{n}|[/mm]
> ist [mm]P[/mm] eine Banachalgebra.
>  Hallo,
>  
> ich habe bei der Aufgabe gezeigt, dass es sich bei
> [mm]\parallel f \parallel[/mm] tatsächlich um eine Norm handelt
> (Ist vielleicht nicht verlangt) und dass [mm]\parallel fg \parallel \le \parallel f \parallel * \parallel g \parallel[/mm]
> gilt (Über Cauchy-Produkt und Dreiecksungleichung).
>  
> Ich würde jedoch gerne auch zeigen, dass es sich bei [mm]P[/mm]
> überhaupt um einen Banachraum handelt. Also muss ich doch
> eine Cauchy-Folge [mm](f_n)[/mm] annehmen und zeigen, dass diese
> konvergiert.
>
> Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert also ein [mm]n_0 \in \mathbb{N}[/mm],
> sodass für alle [mm]m,n \ge n_0[/mm] gilt:
>
> [mm]\parallel f_m - f_n \parallel < \epsilon[/mm]
>  
> Daraus erhalte ich unter Anwendung der Norm:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} |\alpha_{k}^{(m)} - \alpha_{k}^{(n)}| < \epsilon[/mm].
>  
> Wobei [mm]\alpha_{k}^{(m)}[/mm] und [mm]\alpha_{k}^{(n)}[/mm] die
> Koeffizienten der Potenzreihenentwicklungen von [mm]f_m[/mm] bzw.
> [mm]f_n[/mm] sind.
>  
> Wie komme ich nun auf die Konvergenz?

Du studierst also "den Heuser", das ist lobenswert, denn Heuser war mein Doktorvater.

Die obige Aufgabe ist Aufgabe 7 in §110 , Heuser Analysis 2.

In Satz 109.5 des obigen Buches wird u.a. behauptet, dass [mm] l^r [/mm] ein Banachraum ist.

Schau Dir den Beweis dafür an, wobei Du im Hinterkopf immer r=1 behalten solltest.

Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten:

1. Du darfst nicht verwenden, dass [mm] l^1 [/mm] (mit der Standardnorm ) ein Banachraum ist. Dann "kupfere" den oben genannten Beweis nach.

2. Du darfst  verwenden, dass [mm] l^1 [/mm] (mit der Standardnorm ) ein Banachraum ist.

Dann definiere die Abbildung [mm] $\phi:l^1 \to [/mm] P$ wie folgt: ist [mm] (\alpha_n) \in l^1, [/mm] so setze $ [mm] f(\lambda): [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \alpha_{n}\lambda^{n} [/mm] $ und damit

  [mm] \phi((\alpha_n)):=f. [/mm]

[mm] \phi [/mm] ist linear, bijektiv und normerhaltend.

Damit ist $P$ ein Banachraum.

FRED

>  
> Wie immr, im Vorfeld schon ein großes Dankeschön an jede
> Hilfe.
>  
> Gruß,
>  Sandro


Bezug
                
Bezug
Banachraum zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:50 Mi 02.03.2016
Autor: sandroid


Wie immer vielen Dank!

Er war dein Doktorvater? Was für ein Zufall :)

Ja, ich mag ihn (d.h. sein Buch) auch, da er ziemlich ausführlich die Themen behandelt und dabei gelegentlich einen leicht belustigten, motivierenden,  ziemlich literarischen Schreibstil an den Tag legt. Er zeigt auch die Verbindungen sowohl zu den Naturwissenschaften, als auch zu den Geisteswissenschaften, ohne dabei schulbuchmäßig auf einfallslose Beispiele zurückzugreifen. Auch die Übungen sind meistens interessant, da sie die vielen Querverbindungen zwischen den Theen zeigen, nur leider sind die Lösungen nicht vollständig. Als Person kannte ich Herrn Heuser natürlich nicht, er scheint wohl aber eine ganz eigene Art gehabt zu haben, Lehrbücher zu schreiben.

Gruß,
Sandro



Bezug
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