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Forum "Lineare Abbildungen" - Baryzentrische Koordinaten
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Baryzentrische Koordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 30.10.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Seien P,Q,R die Eckpunkte eines Dreiecks und sei S ein beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer relle Zahlen [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] gibt mit [mm] S=\lambda [/mm] P + [mm] \mu Q+\nu [/mm] R und [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] =1. Das Tripel [mm] (\lambda,\mu,\nu) [/mm] nennt man die baryzentischen Koordinaten von S bezüglich des Dreiecks [mm] D_{PQR}. [/mm]

Hallo zusammen,
Sei [mm] S=(s_1,s_2) \in \IR^2 [/mm] beliebig aber fix,
Dann beschreibt [mm] S=\lambda [/mm] P + [mm] \mu Q+\nu [/mm] R das Gleichungssystem:
[mm] A*\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}= \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1} [/mm]
wobei [mm] A=\pmat{ p_1 & q_1 & r_1 \\ p_2 & q_2 & r_2 \\ 1 & 1& 1 } [/mm]
Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar wenn A invertierbar ist.
A ist invertierbar wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm]
[mm] |A|=p_1 q_2 [/mm] + [mm] q_1 r_2 +r_1p_2-q_2r_1-r_2p_1-p_2q_1=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1 [/mm]
Ang. [mm] |A|=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1=0 [/mm]

Wie komme ich zu einen widerspruch?
Da P,Q,R Eckpunkte eines Dreiecks sind, weiß ich, dass sie verschieden in [mm] \IR^2 [/mm] sind und dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] nicht kollinear sind.

Liebe Grüße,
sissi

        
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Fr 31.10.2014
Autor: MacMath


> Seien P,Q,R die Eckpunkte eines Dreiecks und sei S ein
> beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer
> relle Zahlen [mm]\lambda, \mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] gibt mit [mm]S=\lambda[/mm] P +
> [mm]\mu Q+\nu[/mm] R und [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] =1. Das Tripel
> [mm](\lambda,\mu,\nu)[/mm] nennt man die baryzentischen Koordinaten
> von S bezüglich des Dreiecks [mm]D_{PQR}.[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  Sei [mm]S=(s_1,s_2) \in \IR^2[/mm] beliebig aber fix,
>  Dann beschreibt [mm]S=\lambda[/mm] P + [mm]\mu Q+\nu[/mm] R das
> Gleichungssystem:
>  [mm]A*\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}= \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1}[/mm]
>  
> wobei [mm]A=\pmat{ p_1 & q_1 & r_1 \\ p_2 & q_2 & r_2 \\ 1 & 1& 1 }[/mm]
>  
> Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar wenn
> A invertierbar ist.
>  A ist invertierbar wenn [mm]det(A)\not=0[/mm]
>  [mm]|A|=p_1 q_2[/mm] + [mm]q_1 r_2 +r_1p_2-q_2r_1-r_2p_1-p_2q_1=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1[/mm]
>  
> Ang. [mm]|A|=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1=0[/mm]
>  
> Wie komme ich zu einen widerspruch?
>  Da P,Q,R Eckpunkte eines Dreiecks sind, weiß ich, dass
> sie verschieden in [mm]\IR^2[/mm] sind und dass die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{PR}[/mm] nicht kollinear
> sind.

Klar ist doch, dass die ersten beiden Spalten l.u. sind, da P und Q verschiedene Punkte sind. Außerdem sind sie verschieden vom Nullvektor.
Wenn die Determinante der Matrix also Null sein soll, dann ist die dritte Spalte eine Linearkombination der ersten beiden.

Ich bezeichne die Spalten mit [mm] $s_1,s_2,s_3$. [/mm]
Wir nehmen also an:
[mm] $s_3=a*s_1+b*s_2$ [/mm]
Wegen der letzen Zeile gilt $a+b=1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] b=1-a$
Was bedeutet das? Eben genau:

[mm] $\vektor{r_1 \\ r_2}=a*\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)*\vektor{q_1 \\ q_2}$ [/mm]

Was aber besagt das?

Bezug
                
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:00 Sa 01.11.2014
Autor: sissile

Hallo MacMath,
Ich verstehe deine Annahme noch nicht ganz.

> Klar ist doch, dass die ersten beiden Spalten l.u. sind, da
> P und Q verschiedene Punkte sind.Außerdem sind sie
> verschieden vom Nullvektor.

Warum darf P kein Vielfaches von Q sein? P und Q dürfen ja nur nicht der selbe Punkt sein. Und warum weißt, du dass nicht ein Punkt der Nullvektor ist?


LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 03.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 Mo 03.11.2014
Autor: MacMath


>  Warum darf P kein Vielfaches von Q sein? P und Q dürfen
> ja nur nicht der selbe Punkt sein. Und warum weißt, du
> dass nicht ein Punkt der Nullvektor ist?

Natürlich kann P ein vielfaches von Q sein, oder einer der beiden der Nullvektor.
Allerdings steht in der ersten/zweiten Spalte ganz unten auch eine 1. Dadurch sind beide Spalten ungleich 0, und linear Abhängig genau für $P=Q$

>
> LG,
>  sissi


Bezug
                                
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Di 04.11.2014
Autor: sissile

Hallo MacMath,
Ah jetzt hat´s geratert ;P
Um das noch zu Ende zu argumentieren:

$ [mm] \vektor{r_1 \\ r_2}=a\cdot{}\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)\cdot{}\vektor{q_1 \\ q_2} [/mm] $
[mm] \gdw \vektor{r_1-q_1\\r_2-q_2}=a\vektor{p_1-q_1\\p_2-q_2} [/mm]
-> [mm] \overrightarrow{QR} [/mm] kollineare zu [mm] \overrightarrow{QP} [/mm]
Widerspruch zur Definition des Dreiecks
-> Spalten linear unabhängig
-> Matrix A invertierbar
-> Lösung [mm] \vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}=A^{-1} \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1} [/mm]

Korrekt?
LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Baryzentrische Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Di 04.11.2014
Autor: MacMath


> Hallo MacMath,
>  Ah jetzt hat´s geratert ;P

Gut ;)

>  Um das noch zu Ende zu argumentieren:
>  
> [mm]\vektor{r_1 \\ r_2}=a\cdot{}\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)\cdot{}\vektor{q_1 \\ q_2}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \vektor{r_1-q_1\\r_2-q_2}=a\vektor{p_1-q_1\\p_2-q_2}[/mm]
>  
> -> [mm]\overrightarrow{QR}[/mm] kollineare zu [mm]\overrightarrow{QP}[/mm]
>  Widerspruch zur Definition des Dreiecks
>  -> Spalten linear unabhängig

>  -> Matrix A invertierbar

Passt!

>  -> Lösung [mm]\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}=A^{-1} \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1}[/mm]

>
> Korrekt?

Was sind bei dir [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$? [/mm] Bei mir waren das Spalten, also Elemente aus [mm] $\IR^3$. [/mm]

Genau, ich sehe gerade erst, dass ich meine Spalten nicht so hätte nennen dürfen ;) Alles prima!


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