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Basis Untervektorraum: Verständnisschwierigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 24.08.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraums
[mm] \{(x_1,x_2,...,x_m) ∈R^m : x_1 + 2x_2 + 3x_3 +...+ mx_m = 0\} [/mm] von [mm] R^m [/mm]


Hallo,
ich glaube ich habe da etwas falsch verstanden, aber mit dieser Zusatzbedingung:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] +...+ [mm] mx_m [/mm] = 0
wäre ja die Bedingung der linearen Unabhängigkeit nicht erfüllt oder?
Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Basis Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Do 24.08.2017
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraums
> [mm] U_m:=[/mm] [mm]\{(x_1,x_2,...,x_m) ∈R^m : x_1 + 2x_2 + 3x_3 +...+ mx_m = 0\}[/mm]
> von [mm]R^m[/mm]

>

> Hallo,
> ich glaube ich habe da etwas falsch verstanden,

Ja, einiges...

Wir machen mal ein Beispiel.

Nehmen wir m=3.
Betrachtet werden soll nun ein spezieller Unterraum [mm] U_3 [/mm] des [mm] \IR^3, [/mm]
dh. es ist schonmal klar, er Spalten mit 3 Einträgen enthält. (Evtl. sind es bei Euch auc Zeilen, das ist aber egal.)

Wie sehen nun die Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] aus, die im [mm] U_3 [/mm] sind?
Es muß [mm] 1*x_1+2*x_2+3*x_3=0 [/mm] gelten.

Ist [mm] \vektor{4\\-2\\1} [/mm] drin?
Gucken wir nach: 1*4+2*(-2)+3*1=3.
Nicht drin!

Ist [mm] \vektor{-6\\0\\2} [/mm] drin?
Gucken wir nach: 1*(-6)+2*0+3*2=3.
Nicht drin!

In [mm] U_3 [/mm] sind Vektoren der Bauart
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\-\bruch{1}{3}(1*x_1+2*x_2}. [/mm]
Und von diesem Untervektorraum ist eine Basis gesucht.

Wenn Du es für m=3 hinbekommen hast,
ist es für ein allgemeines m nicht mehr schwer.
Beschäftige Dich daher zunächst eingehend mit m=3.

LG Angela

 

Bezug
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