Basis eines Polynoms < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten den folgenden Unterraum des [mm] P_{2}
[/mm]
U := [mm] \left\{ p= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \in P_2: a_0 = a_1 + a_2 \right\}
[/mm]
und folgende Familie von Vektoren
B := [mm] \left(1 + x, 2 + x + x^2\right)
[/mm]
Ist B eine Basis? |
Hallo liebe Leute,
ich habe noch ein wenig Probleme Basen von Funktionen bzw. Poynomen zubestimmten.
Mein erstes Problem besteht darin wie ich das LGS aufstelle.
Ich würde die Vektoren
P1: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] aufstellen. Demnach wären sie aber linear abhängig.
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 11.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den folgenden Unterraum des [mm]P_{2}[/mm]
>
> U := [mm]\left\{ p= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \in P_2: a_0 = a_1 + a_2 \right\}[/mm]
>
> und folgende Familie von Vektoren
>
> B := [mm]\left(1 + x, 2 + x + x^2\right)[/mm]
>
> Ist B eine Basis?
Von was ????
Ich nehme an, die Frage lautet so: ist B eine Basis von U ?
> Hallo liebe Leute,
>
> ich habe noch ein wenig Probleme Basen von Funktionen bzw.
> Poynomen zubestimmten.
> Mein erstes Problem besteht darin wie ich das LGS
> aufstelle.
>
> Ich würde die Vektoren
> P1: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm] aufstellen.
> Demnach wären sie aber linear abhängig.
Hä ?? Diese Vektoren sind linear unabhängig !
>
> Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen! :)
Setzen wir [mm] p_1(x):=1 [/mm] + x und [mm] p_2(x):= [/mm] 2 + x + [mm] x^2.
[/mm]
Frage 1: gilt [mm] p_1,p_2 \in [/mm] U ?
Frage 2: sind [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] linear unabhängig ?
Frage 3: lässt sich jedes p [mm] \in [/mm] U als Linearkombination von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] darstellen ?
Bei dreimal "ja" ist B eine Basis von U, anderenfalls nicht.
FRED
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