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Basis von Untervektorräumen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mo 03.04.2017
Autor: goerimx

Hallo zusammen,
mir stellt sich die Frage ob ich folgende Aufgabe korrekt verstanden habe:

Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
Bestimmt werden soll eine Basis.

Nach dem Aufstellen einer Matrix und umformen gelange ich letztendlich von:

-1 0 0 1 0
2 -1 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

zu:

1 0 0 -1 0
0 1 -2 -2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

reicht es hier nun aus die Pivotspalten in Spalte 1 und 2 zu erkennen und die Basis somit als

2
-1
0
0
0    

und

-1
0
0
0
0

anzugeben?

Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Basis von Untervektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mo 03.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo zusammen,
>  mir stellt sich die Frage ob ich folgende Aufgabe korrekt
> verstanden habe:
>  
> Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
>  U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
>  Bestimmt werden soll eine Basis.

Hallo,

gegeben ist ein homogenes LGS, dessen Lösungsraum Du bestimmen sollst bzw. eine Basis des Lösungsraumes.

Dies kannst Du tun, indem Du die Koeffizientenmatrix des LGS nimmst und ihren Kern bestimmst:

>  
> Nach dem Aufstellen einer Matrix und umformen gelange ich
> letztendlich von:
>  
> -1 0 0 1 0
>  2 -1 2 0 0
>  0 0 0 0 0
>  0 0 0 0 0
>  0 0 0 0 0
>  
> zu:
>  
> [mm] \red{1} [/mm] 0 0 -1 0
>  0 [mm] \red{1 } [/mm] -2 -2 0
>  0 0 0 0 0
>  0 0 0 0 0
>  0 0 0 0 0
>  

> reicht es hier nun aus die Pivotspalten in Spalte 1 und 2
> zu erkennen

Du hast nun die Matrix auf reduzierte ZSF gebracht - Nullen nicht nur unter, sondern auch über den rotmarkierten führenden Zeilenelementen.
Aus dieser Form kannst Du dann leicht eine Basis bekommen:


und die Basis somit als

>  
> 2
>  -1
>  0
>  0
>  0    
>
> und
>
> -1
>  0
>  0
>  0
>  0
>  
> anzugeben?

Daß hier etwas gründlich danebengegangen ist, merkst Du sofort, wenn Du Deine "Basis" mal in das LGS einsetzt: das sind ja beides überhaupt keine Lösungen!

So geht es:
die fürenden Zeilenelemente der Zeilenstufenform stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also kannst Du die 3.,4.,5.Variable frei wälen.

Mit [mm] x_3=r [/mm]
[mm] x_4=s [/mm]
[mm] x_5=t [/mm]

bekommst Du
aus Zeile 2
[mm] x_2=2r+2s, [/mm]

aus Zeile 1
[mm] x_1=s. [/mm]

Also haben alle Lösungen die Gestalt

[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{s\\2r+2s\\r\\s\\t}=r\vektor{0\\2\\1\\0\\0}+s\vektor{1\\2\\0\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\0\\0\\1}, [/mm]

und die 3 Vektoren [mm] \vektor{0\\2\\1\\0\\0}, \vektor{1\\2\\0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\0\\0\\1} [/mm] bilden Zusammen eine Basis des gesuchten Raumes.

Alternativ mit dem (-1)-Trick: in der reduzierten(!!!) Zeilenstufenform die Eineitsmatrix subtrahieren. In den Nichtnullspalten steht eine Basis des gesuchten Raumes.

LG Angela

>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Basis von Untervektorräumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Di 04.04.2017
Autor: goerimx

Vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!

Bezug
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