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Basiswechsel: Div und Rot Zlinderkoordinaten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mi 30.04.2014
Autor: bla234

Aufgabe
[mm] v_{k}(x,y,z)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] * [mm] \pmat{ xz \\ yz\\x^{2}+y^{2} } [/mm]

a) v in Zylinderkoordinaten
b) div v in kartesischen und Zylinderkoordinaten
c) rot v in kartesischen und Zylinderkoordinaten

[mm] v_{k}=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] * [mm] \pmat{ xz \\ yz\\x^{2}+y^{2} } [/mm]

a) [mm] v_{kz}(r,\phi,z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{r} \pmat{z*r*cos(\phi) \\ z*r*sin(\phi) \\ r^{2}} [/mm] = [mm] \pmat{z*cos(\phi) \\ z*sin(\phi) \\ r} [/mm]

b) Divergenz in Zylinderkoordinaten bekomme ich hin. Aber in den Kartesischen Koordinaten soll [mm] \bruch{z}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} [/mm] rauskommen, tut es bei mir aber nicht. Dh. irgendwo muss die Ableitung net stimmen. Aber ich finde den Fehler nicht...

div [mm] v_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\delta \bruch{xz}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta x} [/mm] + [mm] \bruch{\delta \bruch{yz}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta y} [/mm] + [mm] \bruch{\delta \bruch{x^{2} + y^{2}}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta z} [/mm] = [mm] \bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{\bruch{3}{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{y^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{\bruch{3}{2}} } [/mm]

Ich sehe nicht, wie ich da auf das Ergebnis kommen soll?

c) Bei der Rotation soll 0 rauskommen.

rot [mm] v_{k} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{\delta v_{k3}}{\delta y} - \bruch{\delta v_{k2}}{\delta z} \\ \bruch{\delta v_{k1}}{\delta z} - \bruch{\delta v_{k3}}{\delta x} \\ \bruch{\delta v_{k2}}{\delta x} - \bruch{\delta v_{k1}}{\delta y}} [/mm]

Erste Zeile:

[mm] \bruch{2y*\wurzel{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})*\bruch{1}{2*\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} =\bruch{2y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm]

So kommt sicher nicht 0 raus... Ich finde auch hier den Fehler nicht :[

Vielen Dank für jede Hilfe,
bla

        
Bezug
Basiswechsel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Fr 02.05.2014
Autor: wauwau


> [mm]v_{k}(x,y,z)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] * [mm]\pmat{ xz \\ yz\\x^{2}+y^{2} }[/mm]
>  
> a) v in Zylinderkoordinaten
>  b) div v in kartesischen und Zylinderkoordinaten
>  c) rot v in kartesischen und Zylinderkoordinaten
>  [mm]v_{k}=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] * [mm]\pmat{ xz \\ yz\\x^{2}+y^{2} }[/mm]
>  
> a) [mm]v_{kz}(r,\phi,z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{r} \pmat{z*r*cos(\phi) \\ z*r*sin(\phi) \\ r^{2}}[/mm]
> = [mm]\pmat{z*cos(\phi) \\ z*sin(\phi) \\ r}[/mm]
>  
> b) Divergenz in Zylinderkoordinaten bekomme ich hin. Aber
> in den Kartesischen Koordinaten soll
> [mm]\bruch{z}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}[/mm] rauskommen, tut es bei
> mir aber nicht. Dh. irgendwo muss die Ableitung net
> stimmen. Aber ich finde den Fehler nicht...
>  
> div [mm] $v_{k}= \bruch{\delta \bruch{xz}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta x} [/mm] + [mm] \bruch{\delta \bruch{yz}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta y} [/mm] + [mm] \bruch{\delta \bruch{x^{2} + y^{2}}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}}{\delta z} [/mm]

= [mm] \bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{\bruch{3}{2}}}+ \bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{y^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{\bruch{3}{2}} } [/mm]
Umformung
[mm] $=\frac{2z}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2z+y^2z}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{2z}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{(x^2+y^2)z}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2z}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{z}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm]

>
> Ich sehe nicht, wie ich da auf das Ergebnis kommen soll?
>  
> c) Bei der Rotation soll 0 rauskommen.
>
> rot [mm]v_{k}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{\delta v_{k3}}{\delta y} - \bruch{\delta v_{k2}}{\delta z} \\ \bruch{\delta v_{k1}}{\delta z} - \bruch{\delta v_{k3}}{\delta x} \\ \bruch{\delta v_{k2}}{\delta x} - \bruch{\delta v_{k1}}{\delta y}}[/mm]
>  
> Erste Zeile:
>  
> [mm]\bruch{2y*\wurzel{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})*\bruch{1}{2*\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> - [mm]\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} =\bruch{2y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] -
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>  

richtig
[mm] $\bruch{\delta v_{k3}}{\delta y} [/mm] - [mm] \bruch{\delta v_{k2}}{\delta z} =\frac{\delta}{\delta y}\sqrt{x^2+y^2} [/mm] - [mm] \frac{\delta}{\delta z}\frac{yz}{\sqrt{x^2+y^2}} [/mm] = [mm] \frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{\sqt{x^2+y^2}}=0$ [/mm]

> So kommt sicher nicht 0 raus... Ich finde auch hier den
> Fehler nicht :[
>  
> Vielen Dank für jede Hilfe,
>  bla


Bezug
                
Bezug
Basiswechsel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 So 11.05.2014
Autor: bla234

...Danke

Bezug
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