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Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Sa 21.01.2017
Autor: Austinn

hallo matheraum team, also ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Ich habe die ℝ-Vektorräume ℝ2 und ℝ3 und in diesen die Basen:
[mm] B=(\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}) [/mm] und [mm] C=(\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }) [/mm]
und die Standardbasen
[mm] E_{2}=(\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}) [/mm] und [mm] E_{3}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }) [/mm]
Eine lineare Abbildung ψ ∈ L(ℝ3 ,ℝ2 ) ist gegeben durch [ψ] [mm] ψ\ψ_{B}^{C}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 }. [/mm]
a)  Ich muss nun [ψ] [mm] ψ\ψ_{E_{2}}^{ E_{3}} [/mm] bestimmen.

Ich weiß, dass ich die Aufgabe mit Basiswechsel lösen kann. Ich habe ein paar Videos auf YouTube angeschaut, Artikel gelesen und auch auf die Musterlösung geschaut, jedoch verstehe ich das ganze einfach nicht. Ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe, obwohl die Aufhabe eigentlich "sehr einfach" sein sollte...
Ich weiss nicht,wie ich an solchen Aufgaben gehen soll.
Könnte mir jemand bitte, wenn er/sie Zeit hat Schrittweise erklären, wie ich vorgen soll?
Danke im voraus.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Sa 21.01.2017
Autor: angela.h.b.


> Ich habe die ℝ-Vektorräume ℝ2 und ℝ3 und in diesen
> die Basen:
> [mm]B=(b_1:=\vektor{0 \\ 1}, b_2:=\vektor{1 \\ 0})[/mm] und [mm]C=(c_1:=\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }, c_2:=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 }, c_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 })[/mm]

>

> und die Standardbasen
> [mm]E_{2}=(\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1})[/mm] und
> [mm]E_%2525257B3%2525257D%2525253D(%2525255Cvektor%2525257B1%25252520%2525255C%2525255C%252525200%25252520%2525255C%2525255C%252525200%25252520%2525257D%2525252C%25252520%2525255Cvektor%2525257B0%25252520%2525255C%2525255C%252525201%25252520%2525255C%2525255C%252525200%25252520%2525257D%2525252C%25252520%2525255Cvektor%2525257B0%25252520%2525255C%2525255C%252525200%25252520%2525255C%2525255C%252525201%25252520%2525257D)[/mm]

>

> Eine lineare Abbildung ψ ∈ L(ℝ3 ,ℝ2 ) ist gegeben
> durch [ψ] [mm]ψ\ψ_{B}^{C}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 }.[/mm]

>

> a) Ich muss nun [ψ] [mm]ψ\ψ_{E_{2}}^{ E_{3}}[/mm] bestimmen.

Hallo,

[willkommenmr].

[ψ] [mm]ψ\ψ_{B}^{C}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 } [/mm] teilt uns mit, daß

[mm]\Psi(c_1)=1*b_1+3*b_2=\pmat{3\\1}[/mm]
[mm]\Psi(c_2)=2*b_1+4*b_2=\pmat{4\\2}[/mm]
[mm]\Psi(c_3)=3*b_1+5*b_2=\pmat{5\\3}.[/mm]


[ψ] [mm]ψ\ψ_{E_{2}}^{ E_{3}}[/mm] ist die Matrix, welche in den Spalten die Bilder der drei Basisvektoren von [mm] E_3 [/mm] hat
und zwar in Koordinaten bzgl [mm] E_2. [/mm]

Du mußt jetzt also

[mm] \Psi(\pmat{1\\0\\0}), \Psi(\pmat{0\\1\\0}) [/mm] und [mm] \Psi(\pmat{0\\0\\1}) [/mm] bestimmen und in eine Matrix schreiben.

Dazu mußt Du die drei Vektoren erstmal als Linearkombination der [mm] c_i [/mm] schreiben und dann die Linearität der Abbildung ausnutzen.


Man kann das Ganze auch machen, indem man zackzack die passenden Matizen multipliziert,
aber ich würde vorschlagen, Du versuchst es erstmal so.

LG Angela

 

Bezug
                
Bezug
Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Sa 21.01.2017
Autor: Austinn

hallo angela,
erstmal Danke für deine ausführliche Antwort.

Mir ist aber nicht klar, warum:
[mm] (c_{1})=1*b_{1}+3*b_{2}=\vektor{3 \\ 1} [/mm]

Als ich diese lösen wollte ist mir aufgefallen:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}=x*\vektor{0 \\ 1}+y*\vektor{1 \\ 0} [/mm]

Ich wollte es mit dem Gauß Verfahren lösen d.h. die  Gleichungen (I., II., III) aufstellen und eliminieren, aber mir ist aufgefallen,dass die linke Seite ein Vektor mit drei eingräten hat (x, y, z) und die anderen  nur 2.

Wie hast du diese Gleichung aufgelöst?
Ic

Bezug
                        
Bezug
Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 So 22.01.2017
Autor: angela.h.b.


> hallo angela,
> erstmal Danke für deine ausführliche Antwort.

>

> Mir ist aber nicht klar, warum:
> [mm](c_{1})=1*b_{1}+3*b_{2}=\vektor{3 \\ 1}[/mm]

Hallo,

Entschuldigung!!! Das sollte anders heißen. Der Formeleditor hatte mir leider einen Streich gespielt.
Richtig ist:

[mm] \Psi_{B}^{C}=\pmat{ \red{1} & 2 & 3\\ \red{3} & 4 & 5 } [/mm]  teilt uns mit, daß

[mm] \Psi(c_1)=\vektor{\red{1}\\\red{3}}_B=\red{1}\cdot{}b_1+\red{3}\cdot{}b_2=\pmat{3\\1} [/mm]
[mm] \Psi(c_2)=2\cdot{}b_1+4\cdot{}b_2=\pmat{4\\2} [/mm]
[mm] \Psi(c_3)=3\cdot{}b_1+5\cdot{}b_2=\pmat{5\\3}. [/mm]

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren der Startbasis, hier also von C, in Koordinaten bzgl. der Zielbasis B.


>

> Als ich diese lösen wollte ist mir aufgefallen:
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}=x*\vektor{0 \\ 1}+y*\vektor{1 \\ 0}[/mm]

Diese Gleichung kann man, wie Dir aufgefallen ist, nicht lösen.

Du willst ja jetzt die Matrix [mm] [ψ]_{E_2}^{E_3} [/mm] haben.
Diese Matrix beschreibt die Abbildung [mm] \Psi [/mm] bzgl. der Standardbasen [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2. [/mm]
Sprüchlein: "In den Spalten der Matrix [mm] [ψ]_{E_2}^{E_3} [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren der Startbasis [mm] E_3 [/mm] in Koordinaten bzgl. der Zielbasis [mm] E_2" [/mm]

Damit steht der Plan: es müssen
[mm] \Psi(\pmat{1\\0\\0}), \Psi(\pmat{0\\1\\0}) [/mm] und [mm] \Psi(\pmat{0\\0\\1}) [/mm]
bestimmt werden.

Ich mache es für den ersten Vektor vor:

es ist [mm] \pmat{1\\0\\0}=-0.5c_1-0.5c_2+0.5c_3. [/mm]

Also haben wir

[mm] \Psi(\pmat{1\\0\\0})= \Psi(-0.5c_1-0.5c_2+0.5c_3) [/mm]

= (Linearität [mm] verwenden!)\qquad -0.5\Psi(c_1)-0.5\Psi(c_2)+0.5\Psi(c_3) [/mm]

[mm] =-0.5\vektor{3\\1}-0.5\vektor{4\\2}+0.5\vektor{5\\3}=\vektor{-1\\0}. [/mm]

Damit wissen wir

[mm] \Psi_{E_2}^{E_3}=\pmat{ -1 & ... & ...\\ 0 & ... & ... }. [/mm]

Nun die anderen beiden.


---

Man kann auch die passenden Matrizen multiplizieren.

Es ist [mm] [\Psi]_{E_2}^{E_3}=[id]_{E_2}^{B}*\Psi_{B}^{C}*[id]_{C}^{E_3}. [/mm]

Dabei enthält die Basistransformationsmatrix [mm] [id]_{E_2}^{B} [/mm] die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl [mm] E_2 [/mm] in den Spalten.
Also ist

[mm] [id]_{E_2}^{B}=\pmat{0&1\\1&0}. [/mm]

Diese Matrix wandelt Dir Vektoren, die bzgl. B gegeben sind, in solche bzgl [mm] E_2 [/mm] m.


Und es ist [mm] [id]_{C}^{E_3}=([id]_{E_3}^{C})^{-1}, [/mm]
Du mußt also die Matrix,die die Basisvektoren von C in den Spalten hat, invertieren.
[mm] [id]_{C}^{E_3} [/mm] wandelt Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] E_3 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl C um.

Viel Erfolg und nochmals Entschuldigung für die Fehler, die Dir unnötiges Kopfzerbrechen bereitet und wenig zur Klareit beigetragen haben.

LG Angela




 

Bezug
                                
Bezug
Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 So 22.01.2017
Autor: Austinn

Hallo Angela,
danke für deine Hilfe. Habe alles Verstanden außer eine Sache:
Woher kommt der Vektor [mm] \pmat{3\\1} [/mm] bei dieser Gleichung?
[mm] $\Psi(c_1)\vektor{\red{1}\\\red{3}}_B=\red{1}\cdot{}b_1+\red{3}\cdot{}b_2=\pmat{3\\1} [/mm] $

Und woher die -0,5, -0,5 und 0,5 bei dieser  Gleichung?
$ [mm] \Psi(\pmat{1\\0\\0})= \Psi(-0.5c_1-0.5c_2+0.5c_3) [/mm] $


Danke nochmal für deine  Mühe.

Bezug
                                        
Bezug
Basiswechsel bei ℝ-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 So 22.01.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela,
> danke für deine Hilfe. Habe alles Verstanden außer eine
> Sache:
> Woher kommt der Vektor [mm]\pmat{3\\1}[/mm] bei dieser Gleichung?

>

> [mm]\Psi(c_1)\vektor{\red{1}\\\red{3}}_B=\red{1}\cdot{}b_1+\red{3}\cdot{}b_2=\pmat{3\\1}[/mm]

Hallo,

schau nach, wie b_1und [mm] b_2 [/mm] definiert sind, dann weißt Du es.

>

> Und woher die -0,5, -0,5 und 0,5 bei dieser Gleichung?
> [mm]\Psi(\pmat{1\\0\\0})= \Psi(-0.5c_1-0.5c_2+0.5c_3)[/mm]

Ich habe mir ausgerechnet (mit einem LGS), daß
[mm] \pmat{1\\0\\0})= -0.5c_1-0.5c_2+0.5c_3. [/mm]
Die [mm] c_i [/mm] sind die Basisvektoren von C.

LG Angela


>
>

> Danke nochmal für deine Mühe.


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