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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Di 31.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Brigitte!
Hier der entsprechende Teil aus dem Skript "Modellierung und Numerik von Finanzderivaten" von Ansgar Jüngel, Uni Mainz (leicht von mir umgewandelt, was Numerierungen etc angeht):
Wir betrachten eine Basket-Option, eine Call-Option auf ein Portfolio, bestehend aus zwei Optionen mit Werten $S_1$ und $S_2$ mit Korrelation $\rho$. Der Optionspereis $V(S_1,S_2,t)$ genügt der zweidimensionalen parabolischen Differentialgleichung
(1) $V_t + \frac{1}{2} \left(\sigma_1^2S_1^2V_{S_1S_1} + 2\sigma_1\sigma_2\rho S_1S_2V_{S_1S_2} + \sigma_2^2S_2^2V_{S_2S_2} \right) + r(S_1V_{S_1} + S_2 V_{S_2}) - rV=0$,
$S_1,S_2>0$, $0<t<T$.
Die Endbedingung sei durch
$V(S_1,S_2,T)=(\alpha_1S_1 + \alpha_2S_2 - K)^+$
mit Gewichten $\alpha_1,\alpha_2 \ge 0$ gegeben.
Dieses Problem ist auf dem Gebiet $(S_1,S_2) \in (0,\infty) \times (0,\infty)$ definiert.
Die Modellierung der Randbedingungen ist nun nicht so einfach wie im eindimensionalen Fall. Wir benötigen Randbedingungen für vier Ränder:
1) $\mathbf{S_1=0, \ S_2 \in (0,\infty)}$:
Dies entspricht einem europäischen Call auf die Aktie $S_2$ mit Auszahlungsfunktion $\alpha_2(S_2-K/\alpha_2)^+$. Daher schreiben wir die Randbedingung
$V(0,S_2,t) = \alpha_2 \left(S_2 \Phi(d_1) - \alpha_2^{-1}Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2) \right)$
mit
$d_{1/2} = \frac{\ln(\alpha_2 S_2/K) + (r \pm \sigma_2^2/2)(T-t)}{\sigma_2 \sqrt{T-t}}$
vor.
2) $\mathbf{S_2=0, \ S_1 \in (0,\infty)}$:
Wie oben setzen wir
$V(S_1,0,t) = \alpha_1 \left(S_1 \Phi(\hat{d}_1) - \alpha_1^{-1}Ke^{-r(T-t)}\Phi(\hat{d}_2) \right)$
mit
$\hat{d}_{1/2} = \frac{\ln(\alpha_1 S_1/K) + (r \pm \sigma_1^2/2)(T-t)}{\sigma_1 \sqrt{T-t}}$.
3) $\mathbf{S_1 \to \infty, \ S_2 \in (0,\infty)}$:
Für sehr großes $S_1$ ist der Wert des Calls näherungsweise gleich $\alpha_1S_1 + \alpha_2S_2-K$. Wir setzen also
$\lim_{S_1 \to \infty} ( V(S_1,S_2,t) - \alpha_1S_1) = e^{-r(T-t)}(\alpha_2S_2 - K)$,
wobei wir den Betrag noch diskontiert haben.
4) $\mathbf{S_2 \to \infty, \ S_1 \in (0,\infty)}$:
Analog zum obigen Fall setzen wir:
$\lim_{S_2 \to \infty} ( V(S_1,S_2,t) - \alpha_2S_2) = e^{-r(T-t)}(\alpha_1S_1 - K)$.
Wir können die Differentialgleichung (1) auf eine einfacherer Form transformieren, indem wir analog zum eindimensionalen Fall definieren:
$v:= \frac{V}{K} \quad , \quad x_i:= \frac{1}{\sigma_1} \ln \left( \frac{S_i}{K} \right)$.
Aus
$V_t = Kv_t \quad , \quad V_{S_i} = \frac{K}{\sigma_i S_i} v_{x_i} \quad , \quad V_{S_iS_i} = \frac{K}{\sigma_i^2S_i^2} (v_{x_ix_i} -\sigma_i v_{x_i}) \quad , \quad V_{S_1S_2} = \frac{K}{\sigma_1\sigma_2S_1S_2} v_{x_1}v_{x_2}$
ergibt sich die transformierte Gleichung:
$v_t + \mbox{div}(R \nabla v) + k \cdot \nabla v - rv=0$,
$x_1,\, x_2 \in \IR$, $0<t<T$,
wobei
$R = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix} \quad , \quad k = \begin{pmatrix}\frac{r}{\sigma_1} - \frac{\sigma_1}{2} \\ \frac{r}{\sigma_2} - \frac{\sigma_2}{2} \end{pmatrix}$.
Die End- und Randbedingungen lauten:
$v(x_1,x_2,T) & = & (\alpha_1e^{\sigma_1 x_1} + \alpha_2e^{\sigma_2 x_2} - 1)^+$,
$\lim\limits_{x_1 \to -\infty} v(x_1,x_2,t) = e^{\sigma_2 x_2} \Phi(d_1) - e^{-r(T-t)}\Phi(d_2)$,
$\lim\limits_{x_2 \to - \infty} v(x_1,x_2,t) = e^{\sigma_1 x_1} \Phi(\hat{d}_1) - e^{-r(T-t)}\Phi(\hat{d}_2)$,
$\lim\limits_{x_1 \to \infty} ( v(x_1,x_2,t) - \alpha_1e^{\sigma_1 x_1}) = e^{-r(T-r)}(\alpha_2 e^{\sigma_2x_2}-1)$,
$\lim\limits_{x_2 \to \infty} ( v(x_1,x_2,t) - \alpha_2 e^{\sigma_2x_2}) = e^{-r(T-r)}(\alpha_1e^{\sigma_1x_1}-1)$,
wobei
$d_{1/2} = \frac{\ln \alpha_2 + \sigma_2x_2 + (r \pm \frac{\sigma_2^2}{2})(T-t)}{\sigma_2 \sqrt{T-t}}$,
$\hat{d}_{1/2} = \frac{\ln \alpha_1 + \sigma_1x_1 + (r \pm \frac{\sigma_1^2}{2})(T-t)}{\sigma_1 \sqrt{T-t}}$.
Dieses zweidimensionale Problem wollen wir nun diskretisieren. Dazu setzen wir das unbeschränkte Gebiet aus $\IR^2$ durch $(a_1,a_1) \times (-a_2,a_2)$. In den Randbedingungen ersetzen wir $x_i \to \pm \infty$ durch $x_i=\om a_i$. Um die Diskretisierung der Differentialgleichung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass $a_1=a_2$ und $\rho=0$ (keine Korrelation zwischen den Aktien).
Wir müssen also die Gleichung
$v_t + \frac{1}{2} \Delta v + k \cdot \nabla v - rv=0$,
$x_1,x_2 \in (-a,a) \quad , \quad 0<t<T$,
approximieren, wobei
$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}$
den Laplace-Operator bezeichne.
Wir führen ähnlich wie im eindimensionalen Fall ein äquidistantes Gitter mit Gitterweite $h=\frac{2a}{N}$, $N \in \IN$, ein:
$p_{ij} = \begin{pmatrix} -a + ih\\ -a + jh \end{pmatrix} \quad , \quad i,j=0,1,\ldots,N.$
Den Gradienten $\nabla v$ diskretisieren wir mittels zentralen Differenzen:
$\nabla_h v(p_{ij}):= \frac{1}{2h} \begin{pmatrix} v(p_{i+1,j}) - v(p_{i-1,j}) \\ v(p_{i,j+1}) - v(p_{i,j-1}) \end{pmatrix}$,
wobei wir hier und im folgenden das Argument $t$ weglassen. Dann ist $\nabla_hv$ eine Approximation der Ordnung ${\cal O}(h^2)$:
$\nabla_h v(p_{ij}) = \nabla v(p_{ij}) + {\cal O}(h^2)$.
Der Term $k \cdot \nabla v(p_{ij})$ wird somit durch
$\frac{k_1}{2h} ( v(p_{i+1,j}) - v(p_{i-1},j})) + \frac{k_2}{2h} ( v(p_{i,j+1}) - v(p_{i,j-1}))$
approximiert.
Der Laplace-Operator $\Delta$ kann folgendermaßen approximiert werden:
$\Delta v(x_1,x_2)$
$= v_{x_1x_1}(x_1,x_2) + v_{x_2x_2}(x_1,x_2)$
$= \frac{1}{h^2} ( v(x_1 + h,x_2) - 2v(x_1,x_2) - v(x_1+h,x_2)) + \frac{1}{h^2}(v(x_1,x_2+h) - 2v(x_1,x_2) - v(x_1,x_2-h)) + {\cal O}(h^2)$.
Wir definieren also:
$\Delta_hv(p_{ij}) = \frac{1}{h^2} (v(p_{i+1,j}) + v(p_{i-1,j}) + v(p_{i,j+1}) + v(p_{i,j-1}) - 4v(p_{ij}))$.
In den inneren Gitterpunkten $p_{ij}$ gilt also:
$v_t(p_{ij}) + \frac{1}{2} \Delta_h v(p_{ij}) + k \cdot \nabla_hv(p_{ij}) -rv(p_{ij})+ {\cal O}(h^2) = 0$
für $i,j=1,\ldots,N-1$.
Vernachlässigen wir wieder den Restterm ${\cal O}(h^2)$, können wir die numerische Approximationen $w_{ij}=w_{ij}(t)$ von $v(p_{ij}) = v(p_{ij},t)$ dadurch definieren, dass wir fordern:
$w_{ij}' + \frac{1}{2} \Delta_h w_{ij} + k \cdot \nabla_h w_{ij} - rw_{ij} = 0$,
$i,j=1,\ldots,N-1$.
Zusammen mit den Randbedingungen ergibt sich ein lineares System von gewöhnlichen Differentialgleichungen der Dimension $(N-1)^2 \times (N-1)^2$:
$w'=Aw + d(t) \quad , \quad 0<t<T \quad , \quad w(T)=w_0$,
in den Unbekannten $w=(w_{ij})_{ij}$, wobei die Matrix $d(t) \in \IR^{(N-1) \times (N-1)}$ die Randbedingungen und $A \in \IR^{(N-1)^2 \times (N-1)^2}$ die Diskretisierungen von $\Delta_h$ und $\nabla_h$ sowie den Quellterm $-rv$ enthält.
Man kann zeigen, dass der Anteil von $A$, der die Diskretisierungen von $\Delta_h$ enthält, eine Blockdiagonalmatrix ist:
$A_{\Delta_h} = \frac{1}{h^2} \begin{pmatrix} B & -I & & 0 \\ -I & B & \ddots & \\ & & \ddots & -I \\ 0 & & -I & B \end{pmatrix}$
mit
$B= \begin{pmatrix} 4 & -1 & & 0 \\ -1 & 4 & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & & -1 & 4 \end{pmatrix} \in \IR^{(N-1) \times (N-1)}$.
Die Systemdimension wächst mit feinerer Diskretisierung sehr stark an: Bei $100 \times 100$ Gitterpunkten ergibt sich bereits eine Koeffizientenmatrix der Dimension $10^4 \times 10^4$ mit $10^8$ Elementen! Allerdings ist die Matrix $A$ dünn besetzt, und es genügt, nur die nicht verschwindenden Elemente zu speichern.
Liebe Grüße
Stefan
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