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Forum "Topologie und Geometrie" - Beispiel geometrische Relisier
Beispiel geometrische Relisier < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beispiel geometrische Relisier: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Mi 26.04.2017
Autor: ruum

Aufgabe
Ein geometrischer Simplizialkomplex S, dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex K entsprechen, heißt Geometrische Realisierun des Simplizialkomplexes K.
Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.

Hallo alle zusammen,

mir ist die obige Definition noch nicht ganz klar. Hat jemand ein Biespiel. Hat jemand ein Beispiel für eine geometrische Relisierung ?
Vor allem was beudeutet denn ALLE geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Gruß
ruum
        
Bezug
Beispiel geometrische Relisier: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 26.04.2017
Autor: Ladon

Vorab: Ich empfehle dir die Lektüre von Hatchers "Algebraic Topology" ([]Download) oder besser für Simpliziale Komplexe Munkres "Algebraic Topology" Chapter 1 (bestimmt auch irgendwo herunterzuladen).

Etwas verkürzt (!) gesagt, besteht ein Simplizialer Komplex $K$ aus einer Ecken-Menge $Vert(K)$ und einer Simplex-Menge $Simp(K)$, wobei $Vert(X)=:V$ eine Menge von Punkten ist und $Simp(K)=:S$ eine endliche, nicht leere Menge von Teilmengen von $Vert(K)$ ist, die unter Teilmengen abgeschlossen ist.

Beispiel:
Abstrakter simplizialer Komplex gegeben durch [mm] $V=\{a,b,c,d,e\}$ [/mm] und [mm] $S=\{\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\}, \{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,b,c\}\}$ [/mm]

Geometrische Realisierung:
Hier erst mal ein Bild, wie der Komplex vorstellbar ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Die geometrische Realisierung ist nicht eindeutig durch Angabe der $V,S$ bestimmt! Vergleiche dazu die []Definition der geometrischen Realisierung.
Aber das ist nicht schlimm, da uns simpliziale Komplexe zumindest in der Algebraischen Topologie nur bis auf Homöomorphie interessieren.

LG
Ladon
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
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